sumy potęg liczb naturalnych, dzielniki pierwsze

[tatteredspire]

Rozważmy ciąg nieskończony \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k \ , \ \sum_{k=1}^{n}k^2 \ , \ \sum_{k=1}^{n}k^3 \ , \ ...}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) w każdym wyrazie tego ciągu jest dowolnie wybraną liczbą całkowitą dodatnią (po prostu traktujemy \(\displaystyle{ n}\) jako daną liczbę).

Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych będących dzielnikami poszczególnych wyrazów tego ciągu?

[eMaerthin]

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) podciąg tego ciągu stanowią wszystkie liczby Fermata, tzn. liczby postaci \(\displaystyle{ 2^{2^i}+1}\). Wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze, więc istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych będących dzielnikami poszczególnych wyrazów tego ciągu dla \(\displaystyle{ n=2}\).
Czy o to chodziło?

[Ponewor]

Chodzi chyba o dowolny n a nie tylko 2

EDIT

czy można by sformułować polecenie nieco inaczej?

[tatteredspire]

Tak, pierwotnie chodziło mi o to jak zrozumiał Ponewor, ale to i tak nie zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) (choćby dla \(\displaystyle{ n=1}\) ; teraz to zauważyłem, eh ) więc de facto już mam odpowiedź. Dzięki, a co do zagadnienia to przeformułuję je w innym wątku żeby tutaj nie tworzyć zamieszania.

[eMaerthin]

No właśnie. Sytuacja że \(\displaystyle{ n=1}\) nakierowała mnie na inny sposób rozumienia Pozdrawiam!