odwrotność funkcji dzeta Riemanna
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
odwrotność funkcji dzeta Riemanna
jak wyprowadzić taki wzór
\(\displaystyle{ \frac{1}{\zeta (s)}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{n^s}}\), gdzie \(\displaystyle{ \zeta (s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\zeta (s)}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{n^s}}\), gdzie \(\displaystyle{ \zeta (s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
odwrotność funkcji dzeta Riemanna
A dlaczego \(\displaystyle{ \frac{1}{\zeta(s)}= \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_{k}^{s}}\right)}\), skoro \(\displaystyle{ \zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}}\) Jak tą odwrotność możemy wywnioskować?
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
odwrotność funkcji dzeta Riemanna
To jest równoważne przedstawienie Zety Riemanna w postaci iloczynu, które to pochodzi od Eulera. Wystarczy poszukać w internecie by znaleźć jakieś wyprowadzenie jak przejść z jednej postaci do drugiej.
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
odwrotność funkcji dzeta Riemanna
Znalazłam coś takiego \(\displaystyle{ \zeta(s)= \prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}}\)
A ta funkcja jest określona dla jakich \(\displaystyle{ s}\)?
-- 25 cze 2012, o 14:54 --
ok mamy tak zwany produkt Eulera:
\(\displaystyle{ \prod_{p-liczba pierwsza}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)=\frac{1}{\zeta(s)}}\).
Czyli pozbywając się mianownika mamy:
\(\displaystyle{ \zeta(s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\ldots =1}\)
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\ldots \right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\ldots =1}\)
Jednak nijak nie wiem jak z tego jedynka wyjdzie.-- 25 cze 2012, o 15:02 --Znalazłam cos takiego na necie, jednak nie wiem skąd to sie bierze
\(\displaystyle{ \zeta(s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)=1+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\ldots}\)
I tak dalej. Każdy następny krok polega na przemnożeniu obu stron przez wyrazy \(\displaystyle{ \left(1- \frac{1}{p^s}\right)}\) , gdzie \(\displaystyle{ p}\) to kolejna liczba pierwsza. Dzięki temu z prawej strony eliminujemy składniki, których mianowniki są wielokrotnościami liczb \(\displaystyle{ p}\) pojawijących się z lewej strony. Prawa strona zbliża się do 1 , a stąd wynika równość \(\displaystyle{ \prod_{p-liczba pierwsza}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)=\frac{1}{\zeta(s)}}\).
A ta funkcja jest określona dla jakich \(\displaystyle{ s}\)?
-- 25 cze 2012, o 14:54 --
ok mamy tak zwany produkt Eulera:
\(\displaystyle{ \prod_{p-liczba pierwsza}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)=\frac{1}{\zeta(s)}}\).
Czyli pozbywając się mianownika mamy:
\(\displaystyle{ \zeta(s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\ldots =1}\)
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\ldots \right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\ldots =1}\)
Jednak nijak nie wiem jak z tego jedynka wyjdzie.-- 25 cze 2012, o 15:02 --Znalazłam cos takiego na necie, jednak nie wiem skąd to sie bierze
\(\displaystyle{ \zeta(s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)=1+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\ldots}\)
I tak dalej. Każdy następny krok polega na przemnożeniu obu stron przez wyrazy \(\displaystyle{ \left(1- \frac{1}{p^s}\right)}\) , gdzie \(\displaystyle{ p}\) to kolejna liczba pierwsza. Dzięki temu z prawej strony eliminujemy składniki, których mianowniki są wielokrotnościami liczb \(\displaystyle{ p}\) pojawijących się z lewej strony. Prawa strona zbliża się do 1 , a stąd wynika równość \(\displaystyle{ \prod_{p-liczba pierwsza}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)=\frac{1}{\zeta(s)}}\).