W jaki sposób z takiej równości:
\(\displaystyle{ \phi(x)= \sum_{1 \le k \le x}\varphi(k)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}, \ \varphi -\textrm{funkcja Eulera}}\)
możemy przejść w taką równość:
\(\displaystyle{ \sum_{d \ge 1}\phi\left(\frac{x}{d}\right)=\frac{1}{2}\lfloor x\rfloor \lfloor 1+x\rfloor}\)
Przejście z równania do równania
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
Przejście z równania do równania
\(\displaystyle{ d}\) to nie są dzielniki to są liczby naturalne \(\displaystyle{ 1 \ \le d \ \le x}\), później brana jest z tego podłoga
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 12 paź 2011, o 19:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 10 razy
Przejście z równania do równania
\(\displaystyle{ \sum_{d \ge 1}\phi\left(\frac{x}{d}\right)=\sum_{d: x \ge d \ge 1}\varphi(d)\lfloor \frac{x}{d}\rfloor}\)
a co dalej to jeszcze nie wiem;)-- 25 cze 2012, o 00:00 --\(\displaystyle{ \sum_{d: x \ge d \ge 1}\varphi(d)\lfloor \frac{x}{d}\rfloor=\sum_{d=1}^{\lfloor x \rfloor}\sum_{k|d}\varphi(k)}\).
Zachodzi wzór
\(\displaystyle{ \sum_{k|d}\varphi(k)=d}\)
Stąd teza:
\(\displaystyle{ \sum_{d=1}^{\lfloor x \rfloor}\sum_{k|d}\varphi(k)=\sum_{d=1}^{\lfloor x \rfloor}d=\frac{1}{2}\lfloor x\rfloor \lfloor 1+x\rfloor}\)
Dowód można znaleźć w książce W. Sierpińskiego "Teoria liczb", w rozdziale VI: FUNKCJA MOBIUSA, FUNKCJA GAUSSA, ZALEŻNOŚĆ \(\displaystyle{ F(n)=\sum_{d|n}f(d)}\) I JEJ ODWRÓCENIE.
Myślę, że być może możesz tam znaleźć odpowiedź również na chociaż niektóre z pozostałych postawionych przez Ciebie na forum pytań.
Oto link do tego rozdziału online ->
a co dalej to jeszcze nie wiem;)-- 25 cze 2012, o 00:00 --\(\displaystyle{ \sum_{d: x \ge d \ge 1}\varphi(d)\lfloor \frac{x}{d}\rfloor=\sum_{d=1}^{\lfloor x \rfloor}\sum_{k|d}\varphi(k)}\).
Zachodzi wzór
\(\displaystyle{ \sum_{k|d}\varphi(k)=d}\)
Stąd teza:
\(\displaystyle{ \sum_{d=1}^{\lfloor x \rfloor}\sum_{k|d}\varphi(k)=\sum_{d=1}^{\lfloor x \rfloor}d=\frac{1}{2}\lfloor x\rfloor \lfloor 1+x\rfloor}\)
Dowód można znaleźć w książce W. Sierpińskiego "Teoria liczb", w rozdziale VI: FUNKCJA MOBIUSA, FUNKCJA GAUSSA, ZALEŻNOŚĆ \(\displaystyle{ F(n)=\sum_{d|n}f(d)}\) I JEJ ODWRÓCENIE.
Myślę, że być może możesz tam znaleźć odpowiedź również na chociaż niektóre z pozostałych postawionych przez Ciebie na forum pytań.
Oto link do tego rozdziału online ->
Kod: Zaznacz cały
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon19/mon1906.pdf
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
Przejście z równania do równania
A mogę prosić o stronę, na której jest ten dowód, bo jakoś nie mogę tego znaleźć.-- 25 cze 2012, o 19:53 --Ok już znalazłam, dzieki:)