Przejście z równania do równania

[patricia__88]

W jaki sposób z takiej równości:
\(\displaystyle{ \phi(x)= \sum_{1 \le k \le x}\varphi(k)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}, \ \varphi -\textrm{funkcja Eulera}}\)
możemy przejść w taką równość:
\(\displaystyle{ \sum_{d \ge 1}\phi\left(\frac{x}{d}\right)=\frac{1}{2}\lfloor x\rfloor \lfloor 1+x\rfloor}\)

[eMaerthin]

w drugiej sumie sumujemy po dzielnikach \(\displaystyle{ x}\)?

[patricia__88]

\(\displaystyle{ d}\) to nie są dzielniki to są liczby naturalne \(\displaystyle{ 1 \ \le d \ \le x}\), później brana jest z tego podłoga

[eMaerthin]

\(\displaystyle{ \sum_{d \ge 1}\phi\left(\frac{x}{d}\right)=\sum_{d: x \ge d \ge 1}\varphi(d)\lfloor \frac{x}{d}\rfloor}\)

a co dalej to jeszcze nie wiem;)-- 25 cze 2012, o 00:00 --\(\displaystyle{ \sum_{d: x \ge d \ge 1}\varphi(d)\lfloor \frac{x}{d}\rfloor=\sum_{d=1}^{\lfloor x \rfloor}\sum_{k|d}\varphi(k)}\).

Zachodzi wzór
\(\displaystyle{ \sum_{k|d}\varphi(k)=d}\)

Stąd teza:
\(\displaystyle{ \sum_{d=1}^{\lfloor x \rfloor}\sum_{k|d}\varphi(k)=\sum_{d=1}^{\lfloor x \rfloor}d=\frac{1}{2}\lfloor x\rfloor \lfloor 1+x\rfloor}\)

Dowód można znaleźć w książce W. Sierpińskiego "Teoria liczb", w rozdziale VI: FUNKCJA MOBIUSA, FUNKCJA GAUSSA, ZALEŻNOŚĆ \(\displaystyle{ F(n)=\sum_{d|n}f(d)}\) I JEJ ODWRÓCENIE.

Myślę, że być może możesz tam znaleźć odpowiedź również na chociaż niektóre z pozostałych postawionych przez Ciebie na forum pytań.

Oto link do tego rozdziału online ->

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon19/mon1906.pdf

[patricia__88]

A mogę prosić o stronę, na której jest ten dowód, bo jakoś nie mogę tego znaleźć.-- 25 cze 2012, o 19:53 --Ok już znalazłam, dzieki:)