Liczba rozwiązań kongruencji 2 zmiennych

[patry93]

Witam.
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą. Ile jest par \(\displaystyle{ (x,y) \in \mathbb{Z}_{p}^{2}}\) spełniających
\(\displaystyle{ ax+by \equiv c \ (mod \ p)}\) dla ustalonych \(\displaystyle{ a,b,c}\) ?

[Vax]

Jeżeli \(\displaystyle{ a,b}\) są niezerowe, to ustalając \(\displaystyle{ y}\) mamy \(\displaystyle{ ax+by \equiv c\pmod{p} \iff x \equiv a^{-1}(c-by) \pmod{p}}\) (\(\displaystyle{ a^{-1}}\) istnieje, gdyż w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_p}\) każdy niezerowy element jest odwracalny), więc wszystkich rozwiązań jest \(\displaystyle{ p}\). Jeżeli dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\), np \(\displaystyle{ a=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ by \equiv c\pmod{p} \iff y \equiv b^{-1}c \pmod{p}}\), czyli również \(\displaystyle{ p}\) rozwiązań, jeżeli obie liczby \(\displaystyle{ a,b}\) są równe \(\displaystyle{ 0}\), to dla \(\displaystyle{ c \neq 0}\) mamy \(\displaystyle{ 0}\) rozwiązań, a dla \(\displaystyle{ c = 0}\) mamy \(\displaystyle{ p^2}\) rozwiązań.