wykaż że k nie jest podzielne przez 8

[matinf]

Witam
Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ 3|k \wedge 6 \neg |k \Rightarrow 8|k^2+7}\)
Więc twierdzę zgodnie z założeniami że\(\displaystyle{ k = 6n+3, n\in C}\)
Ok, więc podstawiając do tezy:
\(\displaystyle{ 36k^2+36k+9+7 = 4(9k^2+9k+4)}\). I teraz twierdzę że to co w nawiasie jest parzyste, a zatem postaci 2c, stąd \(\displaystyle{ 4 \cdot 2c = 8c}\), a to zakończyłoby dowód.
Teraz pokażę, dlaczego to co w nawiasie jest parzyste.
9 jest nieparzyste. Załóżmy że k jest również nieparzyste. Wtedy mamy że:
Pokażmy że iloczyn liczb nieparzystych jest dalej nieparzysty:
\(\displaystyle{ (2i+1)(2j+1) = 4ij + 2i + 2j + 1 = 2(2ij+i+j) +1}\) rzeczywiście tak jest.
Pokażmy że suma nieparzystych jest parzysta:
\(\displaystyle{ 2i+1+2j+1 = 2(i+j+1) - ok}\)
Teraz parzysta plus parzysta = parzysta
\(\displaystyle{ 2i+2j=2(i+j)}\)
Więc jeśli k jest nieparzyste to cały nawias jest parzysty, a to kończy dowód. Co jeśli jednak k jest parzyste? Nawias musi być znowu parzysty, aby dowód był zakończony. Co się więc tam dzieje?
parzysta razy parzysta
\(\displaystyle{ 2i*2j=2*2ij ok}\)
nieparzysta razy parzysta \(\displaystyle{ (2i+1)*2j = 2(2ij + j) ok}\)
parzysta + parzysta = parzysta
Więc nawias znów jest parzysty co ostatecznie kończy dowód
Czy mój dowód jest ok?

[aniu_ta]

Dobrze, mi jednak wydaje się, że szybciej jest udowadniać, że \(\displaystyle{ 9k^{2}+9k+4=9k(k+1)+4}\) jest parzyste. No i darowałabym sobie dowody na to że np. iloczyn dwóch liczb parzystych jest parzysty (to dość oczywiste), no ale to zależy, jak bardzo wymagający jest nauczyciel

[matinf]

a to skąd wzięłaś ?
\(\displaystyle{ 9k^{2}+9k+4=9k(k+1)+4}\)-- 24 cze 2012, o 19:10 --aha, całość podzieliłaś przez cztery?

[aniu_ta]

wyciągnęłam \(\displaystyle{ 9k}\) przed nawias....

[matinf]

a co podniosłaś w takim razie do kwadratu?

[aniu_ta]

nie rozumiem, co miałabym podnosić do kwadratu?

\(\displaystyle{ 9k^{2}+9k+4=9k(k+1)+4}\) to jest najprostsze wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias, tego w podstawówce uczą....

[matinf]

ok, a pokaż wszystko po kolei jak robisz

[aniu_ta]

mam pokazać, jak wyciągam \(\displaystyle{ 9k}\) przed nawias, czy jak udowadniam, że całe wyrażenie jest parzyste?

[matinf]

całe wyrazenie

[aniu_ta]

Robisz to bardzo podobnie jak w pierwszym poście, czyli dwa przypadki, gdy \(\displaystyle{ k}\) jest parzyste i gdy nie jest.

\(\displaystyle{ k}\) jest parzyste => \(\displaystyle{ 9k}\) parzyste i \(\displaystyle{ k+1}\) nieparzyste => iloczyn l. parzystej i nieparzystej \(\displaystyle{ 9k(k+1)}\) parzysty => \(\displaystyle{ 9k(k+1)+4}\) parzysta + parzysta = parzysta

analogicznie będzie

\(\displaystyle{ k}\) jest nieparzyste => ...