Własności kongruencji

[patricia__88]

Tylko, że tam nam wychodziło na końcu \(\displaystyle{ a^n-b^n}\), a ja potrzebuję tylko, żeby wyszło \(\displaystyle{ n|(a\cdot d -b\cdot d)}\)

[Lorek]

A nie wyjdzie? \(\displaystyle{ (a-b)d}\) po rozpisaniu to ile to jest?

[patricia__88]

No dobrze czyli
\(\displaystyle{ a\equiv b\pmod c\iff c|(a-b) \Rightarrow c|\big((a-b)\cdot d\big) \iff\\ c|(a\cdot d-b\cdot d)\iff a\cdot d\equiv b\cdot d \pmod c}\)
Tak to ma wyglądać, bo zrozumiałam, że mam to rozpisać z tymi wszystkimi potęgami...-- 22 cze 2012, o 19:45 --I mam jeszcze problem z taką własnością:
Jeżeli \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{n}, \ c\equiv d \pmod{n}}\), to \(\displaystyle{ a-c \equiv b-d \pmod{n}}\)
Dowód.
Jeżeli \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{n}}\), to istnieje taka liczba \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\), że \(\displaystyle{ a-b=k\cdot n}\) oraz jeżeli \(\displaystyle{ c\equiv d\pmod{n}}\), to istnieje taka liczba \(\displaystyle{ l\in\mathbb{Z}}\), że \(\displaystyle{ c-d=l\cdot n}\). Odejmując od siebie stronami oba równania mamy:
\(\displaystyle{ (a-c)+(-b-d)=k\cdot n-l\cdot n \ \Leftrightarrow \ (a-c)-(b+d)=(k-l)n}\)
No i tu mi się nie zgadzają znaki

[Lorek]

Tak to ma wyglądać

Dokładnie.

No i tu mi się nie zgadzają znaki

Bo jakbyś dobrze odjęła stronami to by się zgadzało. Odejmując \(\displaystyle{ -d}\) masz w wyniku \(\displaystyle{ -(-d)=+d}\)

[patricia__88]

\(\displaystyle{ a-c-b-(-d)=a-c-b+d=(a-c)-(b-d)}\)
Ok dzieki
Jeszcze tylko problem z ostatnią własnością:), mianowicie, jeżeli \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{n}, \ c\equiv d \pmod{n}}\), to \(\displaystyle{ a\cdot c \equiv b\cdot d \pmod{n}}\)
Dowód:Jeżeli \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{n}}\), to istnieje taka liczba \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\), że \(\displaystyle{ a-b=k\cdot n}\) oraz jeżeli \(\displaystyle{ c\equiv d\pmod{n}}\), to istnieje taka liczba \(\displaystyle{ l\in\mathbb{Z}}\), że \(\displaystyle{ c-d=l\cdot n}\). Przenosząc \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ d}\) na drugą stronę otrzymamy: \(\displaystyle{ k\cdot n + b = a}\) oraz \(\displaystyle{ l\cdot n + d = c}\). Mnożąc stronami obie równości otrzymamy: \(\displaystyle{ n(k\cdot l\cdot n + b\cdot l + k\cdot d) + b\cdot d = a\cdot c}\). Przerzucając \(\displaystyle{ b\cdot d}\) na drugą stronę otrzymamy równość:
\(\displaystyle{ n(k\cdot l\cdot n + b\cdot l + k\cdot d)= a\cdot c-b\cdot d}\)
No i tu znowu mam problem co dalej

[Lorek]

No i koniec. \(\displaystyle{ kln+bl+kd=t\in\mathbb{Z}}\) i masz \(\displaystyle{ n\cdot t=ac-bd}\) z czego wynika, że \(\displaystyle{ ac\equiv bd\pmod n}\)

[patricia__88]

Dzięki wielkie za pomoc:)

[patricia__88]

Jak udowodnić, że jezeli \(\displaystyle{ a\equiv b \pmod{m}}\) oraz \(\displaystyle{ d|m}\), to \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{d}}\)?

[Lorek]

Z przechodniości dzielenia, \(\displaystyle{ m|a-b\wedge d|m \Rightarrow d|a-b}\)

[patricia__88]

Dzięki:)-- 28 lip 2012, o 21:31 --A czy ta własność ma może jakąś nazwę?