Indukcyjnie wykazać podzielność

[voodoopeople]

\(\displaystyle{ 42\left| n^{7} - n}\)

Pomijamy punkt 1.
2. Zakładamy że \(\displaystyle{ n^{7}-n =42k}\)

Udowodnimy że \(\displaystyle{ 42\left|\left( n+1\right) ^{7} - n+1}\)
\(\displaystyle{ }\)Jak należy się za to zabrać?

[bakala12]

Po pierwsze to jest błąd w zapisie tezy przejścia indukcyjnego. Chyba trzeba skorzystać z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, ale nie wiem czy nie da się jakoś szybciej.

[voodoopeople]

A co jest źle w Tezie ??

[bakala12]

Kwestia zapisu ale powinien być nawias przy n+1 albo tak jak napisałeś tylko na końcu -n-1.

[voodoopeople]

nie wiem czy dobrze kombinuje ale czy \(\displaystyle{ \left( n+1\right) ^{7}}\) można rozbić na \(\displaystyle{ \left( n+1\right) ^{4}\left( n+1\right) ^{3}}\) i dalej ze wzorów skróconego mnożenia?

[Ponewor]

a masz pewność, że to ma być dowód indukcyjny? Bo to straszne zło jest w tym wypadku.
Ja zaproponuję dwa inne dowody.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ n^{7}-n=n(n^{6}-1)=n(n^{3}+1)(n^{3}-1)=n(n+1)(n^{2}-n+1)(n-1)(n^{2}+n+1)=n(n+1)((n+2)(n-3)+7)(n-1)((n-2)(n+3)+7)= \\ (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7(n-2)(n-1)n(n+1)(n+3)+7(n-3)(n-1)n(n+1)(n+2)+49(n-1)n(n+1)}\)

Tam jest iloczyn siedmiu kolejnych liczb całkowitych

Ukryta treść:    

Wynika to wprost z MTF: \(\displaystyle{ n^{p} - n \equiv 0 (mod \ p)}\) dla \(\displaystyle{ p=7}\)