Rozwiązać równanie w grupie permutacji

[kjubus]

Mam klopot z przykladowym zadaniem - zupelnie nie wiem, jak sie za to zabrac. prosilbym o wytlumaczenie, krok po kroku, co i jak (z jakich wzorow etc.) nalezy to wykonac:

W grupie permutacji \(\displaystyle{ S_{8}}\) rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ (4,1,7,2) \circ x \circ (5,3,6) = (8,4,1)}\) oraz rozłożyć permtację \(\displaystyle{ x}\) na cykle i transpozycje, ustalić jej parzystość.

Z góry dziękuję za pomoc.

[justyskaf]

\(\displaystyle{ (4,1,7,2) \circ x \circ (5,3,6) = (8,4,1)}\)

jak sobie rozpiszę zadanie to mam
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8\\7&4&3&1&5&6&2&8\end{array}\right)\circ \left( \begin{array}{cccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8 \\ & & & & & & & \end{array}\right)\circ\left( \begin{array}{cccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8\\1&2&6&4&3&5&7&8\end{array}\right)=\left( \begin{array}{cccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8\\8&2&3&1&5&6&7&4\end{array}\right)}\)

\(\displaystyle{ x=\left( \begin{array}{cccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8\\8&7&5&4&6&3&1&2\end{array}\right)}\)

to teraz wytłumaczę skąd mi sie wzięło to x
mam że po wykonaniu tych dwóch złożeń 1 ma przejść w 8. sprawdzam na co przechodzi 1 w funkcji najbardziej wewnętrznej (tej trzeciej od lewej) i przechodzi w 1, potem patrzę co przechodzi na 8 w najbardziej zewnętrznej (pierwszej) i widze że jest to 8. Czyli z tego mi wynika ze musze mieć tak \(\displaystyle{ 1\rightarrow1\rightarrow8\rightarrow8}\) czyli w permutacji \(\displaystyle{ x}\) 1 przechodzi w 8

reszta analogicznie

Rozkład na cykle \(\displaystyle{ x=\left( \begin{array}{cccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8\\8&7&5&4&6&3&1&2\end{array}\right)=\left(1827\right)\left(356\right)}\)

na iloczyn transpozycji \(\displaystyle{ (17)(12)(18)(36)(35)}\)

skoro w rozkładzie na iloczyn transpozycji jest 5 czynników to permutacja jest nieparzysta

[kjubus]

czy moglabys rozpisac, skad i jak wzielas iloczyn transpozycji?

[justyskaf]

Jak dla mnie najprostszym sposobem jest branie pierwszego elementu z cyklu, a jako drugi element transpozycji wybieram ostatni z cyklu, potem przedostatni itd

Jak poskłada się po kolei te transpozycje to faktycznie się zgadza