Suma dzielników liczby naturalnej

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 11 cze 2012, o 22:32

Dla danej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) niech \(\displaystyle{ \sigma(n)}\) oznacza sumę wszystkich dzielników naturalnych tej liczby.

Rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ \sigma(n)=\sigma(n+1)}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 20}\)

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 11 cze 2012, o 22:58

Strzelam, że takich \(\displaystyle{ n}\) jest nieskończenie wiele i wykazanie tego jest strasznie trudne.

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 11 cze 2012, o 23:09

A znasz może choć jedno \(\displaystyle{ n \ge 20}\) dla którego zachodziłoby to równanie?-- 11 cze 2012, o 23:12 --Dzisiaj nie mam siły, ale postaram się program napisać, by znaleźć trochę przykładów (a rozwiązanie równania to chyba rzeczywiście grubsza sprawa ).

Vax · Post autor: **Vax** » 11 cze 2012, o 23:18

Ukryta treść:

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 11 cze 2012, o 23:39

Dzięki wam. Vax, a jeśli można wiedzieć - napisałeś program by to znaleźć czy korzystałeś z jakiegoś gotowego programu czy w jeszcze jakiś inny sposób to znalazłeś?

Vax · Post autor: **Vax** » 11 cze 2012, o 23:41

Napisałem, w C++

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 11 cze 2012, o 23:42

Ok, raz jeszcze dzięki.

ksisquare · Post autor: **ksisquare** » 12 cze 2012, o 07:52

bardzo poręcznym kalkulatorem jest Kod: Zaznacz cały
http://pari.math.u-bordeaux.fr/

na pytanie:

Kod: Zaznacz cały

for(n=20,1000000,if(sigma(n)==sigma(n+1), print1(n, " ") ) )

odpowiada

Kod: Zaznacz cały

206 957 1334 1364 1634 2685 2974 4364 14841 18873 19358 20145 24957 33998 36566 42818 56564 
64665 74918 79826 79833 84134 92685 109214 111506 116937 122073 138237 147454 161001 162602 
166934 174717 190773 193893 201597 230390 274533 289454 347738 383594 416577 422073 430137
438993 440013 445874 455373 484173 522621 544334 605985 621027 649154 655005 685995 695313
739556 792855 937425 949634

Kod: Zaznacz cały

##

Kod: Zaznacz cały

  ***   last result computed in 7,188 ms.

(słaby Atom'ek w netbooku)

a tu do poczytania (Sloane's Kod: Zaznacz cały
http://oeis.org/A002961
)
o i nawet jest programik CRG troszkę dowcipniej napisany (6,109 ms.)
(CRG bardzo uprzejmy mądrala, wie wszystko o PARI i bardzo dużo o liczbach)

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 12 cze 2012, o 20:02

Jeszcze co do zadania - jakby ktoś chociaż potrafił dowieść, że takich liczb jest nieskończenie wiele (albo skończenie wiele) i zechciałby pomóc w dowodzie bądź zaprezentować go tutaj, to oczywiście może to zrobić w tym wątku.

ksisquare · Post autor: **ksisquare** » 12 cze 2012, o 20:10

A poczytałeś u Sloane'sa? Tam znajdziesz i Erdős'a i (niby dziwne) Sierpińskiego

I wygląda, że nie wiemy nic więcej o tym.

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 12 cze 2012, o 22:50

A nie sprawdziłem. No to cóż - skoro nikt (oficjalnie) nie wie jak to zrobić, to by było na tyle. Ja w każdym razie nie znalazłem wcześniej takiej informacji. Dziękuję za odpowiedzi w tym temacie.