Równanie diofantyczne

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_i^n=b^n}\) gdzie \(\displaystyle{ n,a_1,a_2,...,a_n,b \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 0\right\}}\)

1. Czy istnieje takie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 0\right\}}\), że równanie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_i^n=b^n}\) nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych dodatnich?

2. Czy istnieje nieskończenie wiele wartości \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 0\right\}}\) dla których istnieje układ \(\displaystyle{ n+1}\) liczb \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n,b \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 0\right\}}\), które spełniają
równanie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_i^n=b^n}\)?

3. Czy istnieje nieskończenie wiele wartości \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 0\right\}}\) dla których nie istnieje układ \(\displaystyle{ n+1}\) liczb \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n,b \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 0\right\}}\) spełniających równanie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_i^n=b^n}\)?

Tzw. układ liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n,b}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ (a_1,a_2,...,a_n,b)}\)