Kongruencja - podzielność przez trzy

[sandra-91]

Witam,

otóż mam problem ze zrozumieniem dowodu, a szczególnie na koniec

dowód podzielności liczby trzycyfrowej przez 3:

Liczba trzycyfrowa przedstawiana w postaci:
\(\displaystyle{ 100a+10b+c}\), \(\displaystyle{ a,b,c \in \left\{ 0,1,...,9\right\}}\)

\(\displaystyle{ 100 \equiv 0 (mod \ 3)}\)
\(\displaystyle{ 10 \equiv 0 (mod \ 3)}\)
\(\displaystyle{ c \equiv c (mod \ 3)}\)
bo \(\displaystyle{ 3|100, 3|10, 3|0}\) ???

Dodajmy:
\(\displaystyle{ a \equiv a (mod \ 3)}\)
\(\displaystyle{ b \equiv b (mod \ 3)}\)

Z własności mnożenia:
\(\displaystyle{ 100 \equiv 0 (mod \ 3)}\)
\(\displaystyle{ a \equiv a (mod \ 3)}\)
mamy: \(\displaystyle{ 100a \equiv 0 (mod 3)}\)

\(\displaystyle{ 10 \equiv 0 (mod \ 3)}\)
\(\displaystyle{ b \equiv b (mod \ 3)}\)

mamy: \(\displaystyle{ 10b \equiv 0 (mod \ 3)}\)

dodajmy: \(\displaystyle{ c \equiv c (mod \ 3)}\)

z własności dodawania: \(\displaystyle{ (100a +10b + c) \equiv (a + b + c)(mod \ 3)}\)

Właśnie to ostatnie nie rozumiem, przecież własność dodawania jest taka:
\(\displaystyle{ a+c \equiv b+d(mod \ n)}\)

Wyszłoby \(\displaystyle{ 100a +10b + c \equiv c(mod \ 3)}\)

Pytanie jest takie: skąd się wzięło \(\displaystyle{ a+b+c}\) obok \(\displaystyle{ mod}\) po prawej stronie?

[eMaerthin]

Yy może o to chodziło, że liczbę trzycyfrową zapisujemy jako
\(\displaystyle{ 100a+10b+c}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c \in \left\{ 0,1,...,9\right\}}\) a nie \(\displaystyle{ 300a+30b+c}\)?
Jeśli nie o to chodzi, to błąd jest tam, gdzie go wskazałaś, tzn. oczywiste jest, że zachodzi \(\displaystyle{ 300a +30b + c \equiv c\pmod{3}}\)

[sandra-91]

A no rzeczywiście, powinno być \(\displaystyle{ 100a+10b+c}\). Czyli rozumiem, że nie ma błędu.

W takim razie, skąd się wzięło \(\displaystyle{ (a+b+c)}\)?

Drugie pytanie:

przecież \(\displaystyle{ 3|100}\), \(\displaystyle{ 3}\) nie jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 100}\)? To może zachodzić?

[eMaerthin]

jak już teraz poprawiłaś treść zadania to popraw ją do końca. Wcześniej było
\(\displaystyle{ 300 \equiv 0 \pmod{3}}\)
teraz musi być
\(\displaystyle{ 100 \equiv 1 \pmod{3}}\)
A dlaczego? Bo \(\displaystyle{ 100=33\cdot 3+1}\).
Tak samo \(\displaystyle{ 10 \equiv 1 \pmod{3}}\), bo \(\displaystyle{ 10=3\cdot3+1}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ 3\not|100}\).

Dalej trzeba skorzystać z mnożenia kongruencji. Jak mamy
\(\displaystyle{ x\equiv a\pmod n}\)
\(\displaystyle{ y\equiv b\pmod n}\)
to możemy pomnożyć i wyjdzie
\(\displaystyle{ xy\equiv ab\pmod n}\)

W naszym przykładzie
\(\displaystyle{ 100\equiv 1\pmod 3}\)
\(\displaystyle{ a\equiv a\pmod 3}\)
więc
\(\displaystyle{ 100a\equiv a\pmod 3}\)
i analogicznie dalej...
Potem wystarczy zsumować kongruencje i wyjdzie, co ma wyjść, tzn. że
\(\displaystyle{ 100a+10b+c\equiv a+b+c\pmod{3}}\)