Rozwiązanie układu kongruencji

[Janovov]

Wyznaczyć najmniejszą dodatnią liczbę naturalną, która jest rozwiązaniem układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 13 \pmod{3}\\ x\equiv 32 \pmod{5} \\ x\equiv 77 \pmod{9}\end{cases}}\)
Jak się do tego zabrać?

[Vax]

Dany układ nie ma rozwiązań, gdyż z 1 kongruencji wynika \(\displaystyle{ x \equiv 1\pmod{3}}\) a z trzeciej \(\displaystyle{ x \equiv 2\pmod{3}}\)

[Janovov]

Jak doszedłeś do tego, że \(\displaystyle{ x \equiv 1\pmod{3}}\) i \(\displaystyle{ x \equiv 2\pmod{3}}\) ?

[Vax]

Z 1 kongruencji mamy \(\displaystyle{ x \equiv 13 \pmod{3}}\), ale \(\displaystyle{ 13 \equiv 1\pmod{3}}\), więc \(\displaystyle{ x\equiv 1\pmod{3}}\)

Z 3 kongruencji mamy \(\displaystyle{ x \equiv 77 \pmod{9}}\) czyli w szczególności \(\displaystyle{ x \equiv 77\pmod{3}}\), ale \(\displaystyle{ 77 \equiv 2\pmod{3}}\), więc \(\displaystyle{ x \equiv 2\pmod{3}}\), jednak nie istnieje x takie, że \(\displaystyle{ x \equiv 1\pmod{3}}\) oraz \(\displaystyle{ x\equiv 2\pmod{3}}\), skąd dany układ nie ma rozwiązań.

[Janovov]

Mógłbyś mi jeszcze tylko to wytłumaczyć? "\(\displaystyle{ x \equiv 77 \pmod{9}}\) czyli w szczególności \(\displaystyle{ x \equiv 77\pmod{3}}\)"

[Qń]

Z definicji jest \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{n} \Leftrightarrow n|(a-b)}\). Zatem:
\(\displaystyle{ x \equiv 77 \pmod{9} \Leftrightarrow 9|(x-77) \Rightarrow 3|(x-77) \Leftrightarrow x \equiv 77 \pmod{3}}\)

Q.

[kieubass]

Prostszym językiem Vaxovi chodziło o to że jeżeli coś z dzielenia przez \(\displaystyle{ 9}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) to z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) również da \(\displaystyle{ 1}\)
ponieważ jak wiadomo dziewiątka dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ 3}\)

Pozdrawiam

[patidadi]

Nie chce otwierać nowego tematu. mam pytanie odnośnie rozwiązywania kongruencji, bo nie wiem gdzie popełniam błąd. Korzystam z chińskiego twierdzenia o resztach ale wyniki mam inne niż w odpowiedziach...,np.
\(\displaystyle{ x \equiv 2 (mod 15)}\) i \(\displaystyle{ x \equiv 8 (mod 11)}\) to mi wychodzi x=165i+122 ... bo dla mnie z pierwszego x=15i+2 czyli \(\displaystyle{ x \equiv 122 mod 165...}\)