Macie jakiś pomysł?
Wyznacz ostatnie dwie cyfry liczby \(\displaystyle{ 121^{111}+27^{333}}\) zapisanej w układzie dziesiętnym.
Wyznacz ostatnie cyfry liczby
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wyznacz ostatnie cyfry liczby
\(\displaystyle{ x \equiv 121^{111}+27^{333} \equiv 21^{111}+27^{333} \pmod{100} \\ \\ \iff \\ \\ \begin{cases} x \equiv 21^{111}+27^{333} \equiv 1^{111}+(-1)^{333} \equiv 0\pmod{4} \\ x \equiv 21^{111}+27^{333} \equiv (-4)^{111}+2^{333} \equiv 2^{333} - 2^{222} \pmod{25} \end{cases}}\)
Ale z twierdzenia Eulera \(\displaystyle{ 2^{20} \equiv 1\pmod{25}}\), więc:
\(\displaystyle{ x \equiv 2^{333}-2^{222} \equiv 2^{16\cdot 20+13}-2^{11\cdot 20+2} \equiv 2^{13} - 2^2 \equiv 8\cdot 1024 - 4 \equiv 8\cdot (-1)-4 \equiv 13\pmod{25}}\)
Czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 0\pmod{4} \\ x\equiv 13\pmod{25} \end{cases}}\)
A stąd już łatwo dostajemy \(\displaystyle{ x \equiv 88\pmod{100}}\)
Ale z twierdzenia Eulera \(\displaystyle{ 2^{20} \equiv 1\pmod{25}}\), więc:
\(\displaystyle{ x \equiv 2^{333}-2^{222} \equiv 2^{16\cdot 20+13}-2^{11\cdot 20+2} \equiv 2^{13} - 2^2 \equiv 8\cdot 1024 - 4 \equiv 8\cdot (-1)-4 \equiv 13\pmod{25}}\)
Czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 0\pmod{4} \\ x\equiv 13\pmod{25} \end{cases}}\)
A stąd już łatwo dostajemy \(\displaystyle{ x \equiv 88\pmod{100}}\)