Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

[Janovov]

Nie wiem jak sobie z tym poradzić: Proszę znaleźć \(\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}\) które spełniają następujące równanie: \(\displaystyle{ 9x+25y+49z=99}\)

[Marcinek665]

\(\displaystyle{ x=\frac{99-25y-49z}{9} = 11-2y-5z - \frac{7y+4z}{9}}\)

\(\displaystyle{ x}\) jest całkowite, więc \(\displaystyle{ \frac{7y+4z}{9}}\) też musi być, oznaczmy je jako \(\displaystyle{ a}\):

\(\displaystyle{ \frac{7y+4z}{9} = a \Rightarrow z=2a-2y + \frac{a+y}{4}}\)

\(\displaystyle{ z}\) jest całkowite, więc \(\displaystyle{ \frac{a+y}{4}}\) też jest całkowite, oznaczmy je jako \(\displaystyle{ b}\):

\(\displaystyle{ \frac{a+y}{4} = b \Rightarrow y=4b-a}\)

Ale \(\displaystyle{ z=2a-2y + \frac{a+y}{4} = 2a-2(4b-a) + \frac{a+4b-a}{4} = 4a-7b}\),

I dalej:

\(\displaystyle{ x=11-2y-5z - \frac{7y+4z}{9} = 11 - 2(4b-a) - 5(4a-7b) - \frac{7(4b-a)+4(4a-7b)}{9} = 11-19a+27b}\)

Mamy więc, że

\(\displaystyle{ \boxed{\begin{cases} x=11-19a+27b \\ y=4b-a \\ z=4a-7b \\ a,b \in \mathbb{Z} \end{cases}}}\)

Bezpośrednio sprawdzamy, że to działa:

\(\displaystyle{ 9x+25y+49z = 9(11-19a+27b) + 25(4b-a)+49(4a-7b) = 99+243b-171a+100b-25a+196a-343b=99}\)

[Janovov]

Wielkie dzięki!