Dzielniki pierwsze liczb Fermata

[tatteredspire]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ F_n}\) \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę Fermata tj. liczbę \(\displaystyle{ F_n=2^{2^n}+1,n \in \mathbb{N}}\). Niech teraz \(\displaystyle{ p_n}\) będzie najmniejszym pierwszym dzielnikiem \(\displaystyle{ n}\)-tej liczby Fermata.
Rozważmy ciąg nieskończony \(\displaystyle{ p_0,p_1,p_2,...,p_i,...}\)
Czy istnieje taka liczba \(\displaystyle{ s \in \mathbb{N}}\), że ciąg nieskończony \(\displaystyle{ p_s,p_{s+1},p_{s+2},...}\) jest rosnący?

[eMaerthin]

Nie wierzę w to. Wiem, że dzielniki \(\displaystyle{ F_n}\) są postaci \(\displaystyle{ k2^{n+1}+1}\). Dlaczego od pewnego miejsca nagle najmniejsze dzielniki \(\displaystyle{ F_n}\) miałyby tylko rosnąć?

[tatteredspire]

Gdyby istniał taki indeks \(\displaystyle{ s \in \mathbb{N}}\), że każda liczba Fermata o indeksie niemniejszym od \(\displaystyle{ s}\) jest pierwsza (chyba że tak być nie może, w każdym razie nic o tym nie wiem), odpowiedź byłaby pozytywna - ot jedna z możliwości. A co do pytania z zadania to, rzecz jasna, nie znam na nie odpowiedzi.

[eMaerthin]

z tego co wiem nie ma jeszcze narzędzi matematycznych które pozwoliły by udzielić odpowiedzi na tego rodzaju pytania chyba, że tak jak napisałeś - udowodnić, że od pewnego \(\displaystyle{ s}\) wszystkie liczby Fermata są pierwsze. Ale tak czy siak wydaje się to niemożliwe, aby były tylko pierwsze...

[tatteredspire]

No właśnie nie wiem czy to, o co pytam, wiadomo czy też nie. To że nie wiadomo czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata to wiem, ale o tych dzielnikach pierwszych czy wiadomo czy nie - tego nie wiem, ale teoretycznie może być tak, że da się to stwierdzić niezależnie od rozstrzygalności czy dana liczba Fermata jest pierwsza czy nie. W każdym razie dzięki za zainteresowanie i za szkic dowodu w innym wątku. A co do Twojej intuicji, to raczej wydaje się słuszna w tym temacie. Pozdrawiam.