Iloczyn trzech liczb naturalnych

[tatteredspire]

Nie korzystając z pojęcia liczb pierwszych i własności z nimi związanych (ale tylko z nimi, typu rozkład na czynniki pierwsze) oraz pojęcia względnej pierwszości, pokazać że:

dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi \(\displaystyle{ abc=[a,b,c](ab,ac,bc)=(a,b,c)[ab,ac,bc]}\) oraz \(\displaystyle{ [a,b,c](a,b,c)\mid abc}\)

Dodatkowo - pokazać, że \(\displaystyle{ abc=[a,b,c](a,b,c) \Leftrightarrow (a,b)=(a,c)=(b,c)=1}\)-- 4 cze 2012, o 20:00 --Tam jest błąd - miało być z własności względnej pierwszości zamiast pojęcia względnej pierwszości*

[mol_ksiazkowy]

Zadanie nr 27 z Nierozwiązanych

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ d = (a, b, c)}\) tj.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= da_1 \\ b=db_1 \\ c=dc_1\end{cases}}\)
zaś \(\displaystyle{ (a_1, b_1, c_1)=1}\)
(mimo że możliwe jest \(\displaystyle{ (a_1, b_1) >1 \ (a_1, c_1) >1 \ (c_1, b_1) >1}\), np. \(\displaystyle{ a=3 \cdot 5 \ b=5 \cdot 7 \ c= 3 \cdot 7}\)).
Wtedy \(\displaystyle{ [ab, ac, bc] = d^2 a_1b_1c_1}\) gdyż

Jeśli \(\displaystyle{ c}\) dzieli liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to \(\displaystyle{ c}\) dzieli \(\displaystyle{ (a,b)}\)

stąd \(\displaystyle{ abc = [ab, ac, bc](a, b, c)}\)

Nie ma uogólnienia wzoru \(\displaystyle{ ab = (a,b)[a, b]}\) dla trzech liczb, tj. \(\displaystyle{ a b c = (a, b,c) [a, b, c]}\) ta równość jest tylko gdy \(\displaystyle{ (a ,b)= (b,c)= (a,c)=1}\). Jest to oczywiste, bo wtedy
\(\displaystyle{ \begin{cases} (a, b, c)=1 \\ [a, b, c] = abc \end{cases}}\)

Z tego wynika też pozostałe równanie, gdyż \(\displaystyle{ [ab, ac, bc] (a^2cb, ab^2c, abc^2)= a^2b^2c^2}\)

ponadto \(\displaystyle{ (a, b, c)}\) dzieli \(\displaystyle{ (ab, ac, bc)}\).