Parę problemów z zadaniami z

[Rostworowski]

Poproszę was chętnie o pomoc z poniższego materiału, gdzyż nei bardzo wiem jak mam udowodnić te rzeczy. teoria liczb nie jest moją mocną stroną

1. Pokaz, ze jeśli \(\displaystyle{ 2^{n} + 1}\) jest liczba pierwsza to n musi być potęgą 2.

2. Udowodnij, ze liczba \(\displaystyle{ 11^{n} - 4^{n}}\) jest podzielne przez 7 dla wszystkich \(\displaystyle{ n \in P}\).

3. Udowodnij, ze każdą liczbę n > 1 można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych.

4. Wykaż, ze jeśli \(\displaystyle{ n|ab}\) i n z a wzglednie pierwsze, to \(\displaystyle{ n|b}\).

5. Liczba naturalna zapisana w systemie dziesiętnym jest podzielna przez 3 wtedy i
tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Udowodnij i uogólnij te
powszechnie znana regułę.

Z Góry dzięki za pomoc!

[brzoskwinka1]

1) Jeśli \(\displaystyle{ n=2k+1}\), to \(\displaystyle{ x+y|x^n +y^n.}\)
2) \(\displaystyle{ 11^n -4^n =7\cdot \sum_{p+q =n-1 , p,q\in\mathbb{N} \cup \{0\}} 11^p \cdot 4^q}\)

[adambak]

3. indukcja lub nie wprost
4. gdyby \(\displaystyle{ b\mod{n}\neq 0}\) to byśmy mieli \(\displaystyle{ ab\mod{n}\neq 0}\) bo z założenia \(\displaystyle{ a\equiv_n 1}\), więc sprzeczność
5. zapisz liczbę jako wielomian zmiennej \(\displaystyle{ 10}\) i skorzystaj z podstawowych własności kongruencji.. wskazówką niech będzie to, że twierdzenie uogólnia się na każdą podstawę \(\displaystyle{ p}\), taką że \(\displaystyle{ p\equiv_{3}1}\)

[Ponewor]

nie zrozumiałem co miała na myśli brzoskwinka1 w drugim.

ja zaproponuję
\(\displaystyle{ 11^{3} \equiv 4^{3} \equiv 1 \ (mod \ 7)}\)

[adambak]

brzoskwinka1, miała na myśli dość znany wzór skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})}\) co załatwia sprawę..