Pomysł miałem taki: Biorąc sobie n takich liczb na pewno są wśród nich \(\displaystyle{ a_1, a_2}\)dwie o tej samej niezerowej reszcie z dzielenia przez n albo jest jakaś podzielna przez n i koniec zadania.(Zasada szufladkowa!) Wykaż, że dla dowolnego naturalnego n istnieje liczba a złożona tylko z jedynek i zer, która jest podzielna przez n.
Chciałbym teraz z tych liczb \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) zbudować liczbę podzielną przez n, ale tak aby otrzymana liczba dalej była zbudowana z samych zer i jedynek.
Nie mam pomysłu jak to zrobić. Myślałem aby znaleźć m większe od długości liczby \(\displaystyle{ a_1}\) takie że \(\displaystyle{ 10^m a_1 \equiv n-k (mod n)}\) gdzie k - reszta z dzielenia \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) przez n. Wtedy bym miał \(\displaystyle{ 10^m a_1 + a_2 \equiv 0 (mod n)}\) i byłaby to liczba złożona z samych zer i jedynek, ale nie umiem wskazać odpowiedniego m=? (chyba wystarczy rozwiązać \(\displaystyle{ 10^m\equiv -1 (mod n)}\)??)
