Liczba wymierna
-
matemaniak508
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 15 gru 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: M-ce
- Podziękował: 6 razy
Liczba wymierna
Czy liczba wymierna może mieć nieskończony zapis dziesiętny(i nie być okresową). Jak temu dowieść/zaprzeczyć?
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Liczba wymierna
Nie może mieć. Jeśli mam liczbę wymierną \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\), to długość okresu w rozwinięciu nie może być większa niż \(\displaystyle{ b-1}\).
Przy dzieleniu \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ b}\) możemy otrzymać jedynie reszty \(\displaystyle{ 0, 1, ..., b-1}\). Jeżeli na którymś etapie dzielenia otrzymamy resztę \(\displaystyle{ 0}\), to rozwinięcie jest skończone. Jeżeli zaś nie otrzymamy reszty \(\displaystyle{ 0}\), to w pewnym momencie, chociażby z zasady szufladkowej, wynika, że pewna reszta musi się powtórzyć, a skoro reszta się powtórzyła, to mamy okres, bo kolejne będą się powtarzać jak poprzednio. A skoro niezerowych reszt jest \(\displaystyle{ b-1}\), to dodatkowo udowodniliśmy, że każde rozwinięcie takiej liczby ma okres długości co najwyżej \(\displaystyle{ b-1}\).
Przy dzieleniu \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ b}\) możemy otrzymać jedynie reszty \(\displaystyle{ 0, 1, ..., b-1}\). Jeżeli na którymś etapie dzielenia otrzymamy resztę \(\displaystyle{ 0}\), to rozwinięcie jest skończone. Jeżeli zaś nie otrzymamy reszty \(\displaystyle{ 0}\), to w pewnym momencie, chociażby z zasady szufladkowej, wynika, że pewna reszta musi się powtórzyć, a skoro reszta się powtórzyła, to mamy okres, bo kolejne będą się powtarzać jak poprzednio. A skoro niezerowych reszt jest \(\displaystyle{ b-1}\), to dodatkowo udowodniliśmy, że każde rozwinięcie takiej liczby ma okres długości co najwyżej \(\displaystyle{ b-1}\).