Czesc! Oto uklad rownan z ktorym nie moge sobie poradzic.
x+y+z=1
x�+y�+z�=1
X�+y�+z�=1
Dzieki za pomoc:)
Uklad rownan
-
jasny
- Użytkownik
- Posty: 845
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Uklad rownan
\(\displaystyle{ x+y+z=1/^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=1}\)
\(\displaystyle{ 1+2(xy+yz+xz)=1}\)
\(\displaystyle{ xy+yz+xz=0}\)
\(\displaystyle{ x+y+z=1/^3}\)
\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3+3(x^2y+xy^2+x^2z+y^2z+xz^2+yz^2+2xyz)=1}\)
\(\displaystyle{ 3(x^2y+xy^2+x^2z+y^2z+xz^2+yz^2+3xyz)-3xyz=0}\)
\(\displaystyle{ 3(x+y+z)(xy+yz+xz)-3xyz=0}\)
\(\displaystyle{ xyz=0}\)
Wprowadźmy wielomian pomocniczy \(\displaystyle{ W(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3+pt^2+qt+t}\)
Na mocy twierdzenia Viete'a:
\(\displaystyle{ p=-(x+y+z)=-1}\)
\(\displaystyle{ q=xy+yz+xz=0}\)
\(\displaystyle{ r=-xyz=0}\)
\(\displaystyle{ W(t)=t^3-t^2=t^2(t-1)}\)
Pierwiastkami tego wielomianu należą do zbioru \(\displaystyle{ \{0;0;1\}}\)
\(\displaystyle{ (x;y;z)\in\{(0;0;1);(0;1;0);(1;0;0)\}}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=1}\)
\(\displaystyle{ 1+2(xy+yz+xz)=1}\)
\(\displaystyle{ xy+yz+xz=0}\)
\(\displaystyle{ x+y+z=1/^3}\)
\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3+3(x^2y+xy^2+x^2z+y^2z+xz^2+yz^2+2xyz)=1}\)
\(\displaystyle{ 3(x^2y+xy^2+x^2z+y^2z+xz^2+yz^2+3xyz)-3xyz=0}\)
\(\displaystyle{ 3(x+y+z)(xy+yz+xz)-3xyz=0}\)
\(\displaystyle{ xyz=0}\)
Wprowadźmy wielomian pomocniczy \(\displaystyle{ W(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3+pt^2+qt+t}\)
Na mocy twierdzenia Viete'a:
\(\displaystyle{ p=-(x+y+z)=-1}\)
\(\displaystyle{ q=xy+yz+xz=0}\)
\(\displaystyle{ r=-xyz=0}\)
\(\displaystyle{ W(t)=t^3-t^2=t^2(t-1)}\)
Pierwiastkami tego wielomianu należą do zbioru \(\displaystyle{ \{0;0;1\}}\)
\(\displaystyle{ (x;y;z)\in\{(0;0;1);(0;1;0);(1;0;0)\}}\)
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Uklad rownan
Można też inaczej:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ xy+yz+zx= \frac{ (x+y+z)^2 - (x^2+y^2 +z^2}{2}}\), czyli w naszym przypadku otrzymujemy, iż \(\displaystyle{ xy+yz+zx=0}\). Korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz= (x+y+z)( x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx)}\) mamy \(\displaystyle{ 1-3xyz=1(1-0)=1}\), więc \(\displaystyle{ xyz=0}\). Czyli \(\displaystyle{ x=0 y=0 z=0}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ x=0}\), czyli \(\displaystyle{ y+z=1 y^2+z^2=1}\). Podstawiając z pierwszego równania \(\displaystyle{ z}\) do drugiego dostajemy \(\displaystyle{ y^2 +(1-y)^2=1}\), czyli \(\displaystyle{ 2y(y-1)=0}\). Mamy stąd \(\displaystyle{ y=0 y=1}\), oraz dostajemy od razu wartości \(\displaystyle{ z}\). Ponieważ układ jest symetryczny, to spełniają go wszystkie permutacji trójki liczb (0,0,1).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ xy+yz+zx= \frac{ (x+y+z)^2 - (x^2+y^2 +z^2}{2}}\), czyli w naszym przypadku otrzymujemy, iż \(\displaystyle{ xy+yz+zx=0}\). Korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz= (x+y+z)( x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx)}\) mamy \(\displaystyle{ 1-3xyz=1(1-0)=1}\), więc \(\displaystyle{ xyz=0}\). Czyli \(\displaystyle{ x=0 y=0 z=0}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ x=0}\), czyli \(\displaystyle{ y+z=1 y^2+z^2=1}\). Podstawiając z pierwszego równania \(\displaystyle{ z}\) do drugiego dostajemy \(\displaystyle{ y^2 +(1-y)^2=1}\), czyli \(\displaystyle{ 2y(y-1)=0}\). Mamy stąd \(\displaystyle{ y=0 y=1}\), oraz dostajemy od razu wartości \(\displaystyle{ z}\). Ponieważ układ jest symetryczny, to spełniają go wszystkie permutacji trójki liczb (0,0,1).