Udowodnij podzielność - Kongurencja

[visual_solo]

Prośba o sprawdzenie czy dobrze rozwiązuje poniższe zadanie:

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n, zachodzi podzielność
\(\displaystyle{ 21|2^{4^{n}}+5}\)
dalej korzystam z \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{d}}\) oraz \(\displaystyle{ m|d}\) to \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{m}}\)
czyli mam
\(\displaystyle{ 2^{4^{n}} \equiv -5 \pmod{3} \\}\)
\(\displaystyle{ 2^{4^{n}} \equiv 1 \pmod{3} \\}\)
czy taki dowód wystarczy? czy widzi ktoś dowód z \(\displaystyle{ \pmod{21}}\)
z góry dziękuje za pomoc

[Vax]

Taki dowód nie wystarczy, musisz pokazać podzielność danego wyrażenia przez 3 oraz przez 7, przez 3 mamy: \(\displaystyle{ 2^{4^n}+5 \equiv (-1)^{4^n}+2 \equiv 1+2 \equiv 0\pmod{3}}\)

Teraz przez 7, na początku zauważamy, że \(\displaystyle{ 2^3 \equiv 1\pmod{7} \Rightarrow 2^{3k} \equiv 1\pmod{7}}\) i dostajemy (\(\displaystyle{ 4^n \equiv 1^n \equiv 1\pmod{3} \Leftrightarrow 4^n = 3k+1}\)):

\(\displaystyle{ 2^{4^n}+5 \equiv 2^{3k+1}+5 \equiv 2^{3k}\cdot 2+5 \equiv 1\cdot 2+5 \equiv 7 \equiv 0\pmod{7}}\) cnd.