Rozwinięcie liczby naturalnej przy danej podstawie

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Rozwinięcie liczby naturalnej przy danej podstawie

Post autor: matmatmm »

Niech p będzie daną liczbą naturalną(\(\displaystyle{ p \ge 2}\)). Wówczas każda liczba \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) daje się jednoznacznie przedstawić w postaci \(\displaystyle{ n=c _{k}p ^{k}+c _{k-1} p ^{k-1} +\dots+c _{1} p+c _{0}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N} _{0} , c _{i} \in \left\{ 0,1,\dots,p-1\right\} , i=0,1,\dots,k , c _{k} \neq 0}\)
Bardzo prosiłbym o dowód.
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Rozwinięcie liczby naturalnej przy danej podstawie

Post autor: octahedron »

Może coś takiego:

\(\displaystyle{ c_0=n\pmod{p}\\
c_1=\frac{n-c_0}{p}\pmod{p}\\
\vdots\\
c_i=\frac{n-c_0-c_1p-...-c_{i-1}p^{i-1}}{p^{i}}\pmod{p}}\)
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Rozwinięcie liczby naturalnej przy danej podstawie

Post autor: matmatmm »

w porządku a dowód jednoznaczności?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Rozwinięcie liczby naturalnej przy danej podstawie

Post autor: norwimaj »

matmatmm pisze:w porządku a dowód jednoznaczności?
Jeśli \(\displaystyle{ n_c=c _{k}p ^{k}+c _{k-1} p ^{k-1} +\dots+c _{1} p+c _{0}, n_d=d _{k}p ^{k}+d _{k-1} d ^{k-1} +\dots+d _{1} p+d _{0}}\) i zapisy te się różnią, to niech \(\displaystyle{ l=\max\{i:c_i\ne d_i\}}\). Bez straty ogólności \(\displaystyle{ c_l>d_l}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ i<l}\) szacujesz \(\displaystyle{ d_i\le p-1}\) oraz \(\displaystyle{ c_i\ge0}\). Dalej korzystając z sumy ciągu geometrycznego można oszacować, że \(\displaystyle{ n_c>n_d}\).
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Rozwinięcie liczby naturalnej przy danej podstawie

Post autor: octahedron »

matmatmm pisze:w porządku a dowód jednoznaczności?
Wszystkie wspólczyniki są wyznaczone jednoznacznie, inne być nie mogą.
ODPOWIEDZ