Diofantos

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 21 lut 2007, o 21:11

xy+yz+zx+1=xyz

palazi · Post autor: **palazi** » 21 lut 2007, o 21:57

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{xyz} = 1}\)
Teraz bez straty ogólnosci walnij, ze x>=y>=z i masz krótki przedział dla tych liczb. Potem tylko kilka przypadków i koniec.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 22 lut 2007, o 13:09

Wcale nie tak mało przypadków

[ Dodano: 22 Luty 2007, 13:40 ]
a czy to dla całkowitych czy naturalnych tylko??

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 22 lut 2007, o 14:19

zasadniczo dla l. naturalnych, ale jesli ktos chce sobie tez pokombinowac i dla ogólniejszej spraway to prosze bardzo

max · Post autor: **max** » 22 lut 2007, o 15:15

\(\displaystyle{ (x - 1)(y - 1)(z - 1) = x + y + z}\)
Dla \(\displaystyle{ x \geqslant y \geqslant z \geqslant 0}\) musi być:
\(\displaystyle{ x , y > 2\\
z>1\\
y, z < 4\\}\)
Ponadto rozwiązaniem jest trójka liczb, z których dwie są nieparzyste, a jedna parzysta.
Teraz kilka podstawień i mamy wynik:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x = 7\\ y = 3\\ z = 2\end{array}\right.}\)

Po rozszerzeniu dziedziny równania na liczby całkowite robi się nieco ciekawiej, np mamy nieskończenie wiele rozwiązań postaci:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x = k\\ y = 1\\ z = -k - 1\end{array}, \ k\in \mathbb{Z_{+}}\cup \{0\}\right.}\)
I zdaje się, że będą to jedyne dodatkowe rozwiązania...