Równania diofantyczne

[Embla]

Witam!

Piszę z dwoma problemami związanymi z równaniami diofantycznymi.

Pierwszy to czy poprawne jest moje rozumowanie dotyczące rozwiązania równania \(\displaystyle{ x^{2}+3y ^{2}=9x}\) w liczbach naturalnych

Rozwiązanie:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 9=3*3}\)
\(\displaystyle{ x _{0} ^{2}+3y _{0} ^{2}=9x _{0}, \ x _{0}=3x _{1} \ \Rightarrow \
3x _{1} ^{2}+y _{0} ^{2}=9x _{1},\ y _{0}=3y _{1}\ \Rightarrow \
x _{1} ^{2}+3y _{1} ^{2}=3x _{1} \ \Rightarrow \
0 \le x_{1} \le 3}\)

Czyli spełniają tylko pary liczb (0,0) i (3,0)

Drugie to w jaki sposób zabrać się do rozwiązywania równań typu: \(\displaystyle{ 19^{x} + 1 = 24^{y}}\) w liczbach naturalnych.

Z góry dziękuję za pomoc

[Vax]

1 równania nie spełniają pary \(\displaystyle{ (x,y) = (0,0) , (3,0)}\) lecz \(\displaystyle{ (x,y) = (0,0) , (9,0)}\)

Co do 2, to rozpatrując dane równanie mod 3 mamy \(\displaystyle{ 19^x+1 \equiv 24^y \pmod{3} \Leftrightarrow 1+1 = 0 \pmod{3} \Leftrightarrow 2 \equiv 0\pmod{3}}\) sprzeczność, czyli dane równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

[Embla]

Bardzo dziękuję za odpowiedz. Oczywiście w pierwszym policzyłam nie dla oryginalnej pary tylko dla \(\displaystyle{ x_{1}}\) \(\displaystyle{ y_{1}}\)

Dlaczego w drugim wybieramy modulo 3? Ogólnie wybieramy takie, żeby dawało sprzeczność tak?

[Vax]

Ogólnej zasady na to, jakie modulo bierzemy nie ma, po prostu trzeba zauważyć, że biorąc 3 łatwo dostajemy sprzeczność (Można zauważyć, że 3 jest dzielnikiem prawej strony, więc będzie ona równa 0 i patrzeć jak się zachowa wówczas lewa strona)