Liczba Eulera

Mateusz Magier · Post autor: **Mateusz Magier** » 18 kwie 2012, o 17:29

Wiadomo, że liczbę \(\displaystyle{ e}\) można interpretować jako granicę ciągu liczbowego \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{}{} \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n}}\). Czy prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Dla \(\displaystyle{ k \neq 0}\)prawdziwa jest równość
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{}{} \left( 1+ \frac{k}{n} \right) ^{\frac{n}{k}}=e}\)

Jeśli tak, to proszę o podanie jego dowodu.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 18 kwie 2012, o 17:32

Nie jest. Weź \(\displaystyle{ k=n=1}\)

Mateusz Magier · Post autor: **Mateusz Magier** » 18 kwie 2012, o 18:10

Przejęzyczyłem się. Chodziło mi o granicę. Błąd już poprawiony.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 18 kwie 2012, o 18:11

Dowód nie jest trudny. Z ogólnej postaci liczby Eulera wynika. A dowód na taką ogólną postać znajdziesz w każdej porządnej książce

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 18 kwie 2012, o 18:16

Mateusz Magier pisze: Dla dowolnej liczby rzeczywistej k

Dla \(\displaystyle{ k=0}\) też?

Mateusz Magier · Post autor: **Mateusz Magier** » 19 kwie 2012, o 00:18

Pomyłka w założeniu. Oczywiście mianownik ułamka różny od 0.