Całkowita suma ułamków

[fon_nojman]

Wyznaczyć wszystkie liczby \(\displaystyle{ k,l,m,n\in \{1,2,\ldots,6\}}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ \frac{k}{l}+\frac{m}{n}}\) jest całkowite.

[sieniaf]

Pewnie jest jakiś bardziej elegancki sposób:
1. liczby całkowite
wypisałbym moce zbiorów wielokrotności liczb znajdujących się w zbiorze \(\displaystyle{ \{1,2,\ldots,6\}}\),
oznaczmy je jako \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6}}\)
czyli np.
\(\displaystyle{ a_{1}=\left| \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \right| = 6}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=\left| \left\{ 2,4,6\right\} \right| = 3}\)
następnie stworzył tabelkę gdzie każda kolumna to wartość jaką może przyjąć \(\displaystyle{ l}\), natomiast każdy wiersz to wartość jaką może przyjąć \(\displaystyle{ n}\), teraz łatwo zauważyć z reguły mnożenia, że każdy wiersz będzie się sumował do \(\displaystyle{ a_{k}(a_{1}+a_{2}+ \ldots + a_{6})}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) to numer wierszu, więc wszystkich możliwości będzie:

\(\displaystyle{ (a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6})^{2}}\)

---
2. Ułamki - rozpatrzeć wszystkie przypadki
1.
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6} \right\}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ W_{3}^{2}}\)

2.
Jedna liczba z tego zbioru:
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{3}, \frac{2}{6} \right\}}\)

i druga liczba z tego zbioru:
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{2}{3}, \frac{4}{6} \right\}}\)

i odwrotnie, czyli:
\(\displaystyle{ 2W_{2}^{1}W_{2}^{1}}\)

3.
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \right\}}\)

\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{5}, \frac{4}{5} \right\}}\)

\(\displaystyle{ \left\{ \frac{2}{5}, \frac{3}{5} \right\}}\)

\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{6}, \frac{5}{6} \right\}}\)

po dwa przypadki w każdym.

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ (a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6})^{2}+W_{3}^{2}+2W_{2}^{1}W_{2}^{1}+8}\)

[fon_nojman]

Na razie przeczytałem pierwszą część i nie pasuje mi coś. Dla \(\displaystyle{ l=n=2}\) (drugi wiersz i druga kolumna) według Twoich rozumowań mielibyśmy \(\displaystyle{ a_2 a_2=9}\) a wynik właściwy to \(\displaystyle{ 18.}\)