Wtedy też \(\displaystyle{ a-b|2b}\) czyli jeśli a jest większą z tych liczb to \(\displaystyle{ a \le 3b}\). Do tego \(\displaystyle{ a= \frac{k+1}{k-1} b}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 2}\) lub równoważnie \(\displaystyle{ a=b+\frac{2b}{l}}\) dla \(\displaystyle{ l \ge 1}\). Za pomocą tego wzoru z k można zapisać w zależności od pierwszej n pozostałych liczb, problem pojawia się gdy trzeba sprawdzać je między sobą czy ta podzielność zachodzi. Nie tędy droga?
Takich par jest nieskończenie wiele, czyli w szczególności pewne 2 pary się powtórzą, tj istnieją takie \(\displaystyle{ a\neq b}\), że \(\displaystyle{ (x_a , x_{a+1}) = (x_b,x_{b+1})}\), gdzie \(\displaystyle{ b>a}\), czyli:
Jeżeli dane liczby nie muszą być różne, dla dla dowolnego \(\displaystyle{ n\ge 1}\) bierzemy \(\displaystyle{ a=b=c}\) i teza zachodzi. Jednak żeby było ciekawej załóżmy, że dane liczby muszą być parami różne. Pokażemy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n\ge 2}\) znajdą się parami różne liczby spełniające tezę. Istotnie, zauważmy, że biorąc \(\displaystyle{ \begin{cases} a = n^2+2\\ b = n^2+n+4 \\ c = n^2+4 \end{cases}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{c} = \frac{(n^2+2)^2+(n^2+n+4)^2}{n^2+4} = \frac{(n^2+4)(2n^2+2n+5)}{n^2+4} = 2n^2+2n+5}\) więc dana podzielność istotnie zachodzi, należy jeszcze sprawdzić, dla jakich n dane liczby są parami różne i należą do przedziału \(\displaystyle{ (n^2 ; (n+1)^2)}\), musi więc zachodzić \(\displaystyle{ n^2+2 \neq n^2+n+4 \Leftrightarrow n \neq -2 \\ \\ n^2+4 \neq n^2+n+4 \Leftrightarrow n \neq 0 \\ \\ n^2+4 \le n^2+2n \Leftrightarrow n \ge 2 \\ \\ n^2+n+4 \le n^2+2n \Leftrightarrow n\ge 4}\), więc nasz dowód działa dla \(\displaystyle{ n\ge 4}\), dla \(\displaystyle{ n=2}\) i \(\displaystyle{ n=3}\) sprawdzamy ręcznie, że działają trójki:
Dla n=2 \(\displaystyle{ (a,b,c) = (6,7,5)}\)
Dla n=3 \(\displaystyle{ (a,b,c) = (10,11,13)}\)
Więc ostatecznie pokazaliśmy, że teza zachodzi dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\)