Twierdzenie Mobiusa o odwracaniu

kammeleon18 · Post autor: **kammeleon18** » 25 cze 2012, o 00:12

wrzuć tu całość z książki, bo ten fragment, wyrwany z kontekstu, sam w sobie jest poprawny Może tam dowód jest od drugiej strony, czyli że zaczynamy od \(\displaystyle{ g(m_1m_2)}\) ? a czego nie rozumiesz w tym co ja napisałem?

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 25 cze 2012, o 09:45

Dowód z książki znajduje się w pierwszym poście. Natomiast to, czego nie rozumiem, to jest ten moment:
\(\displaystyle{ +(f(m_1m_2)-f(m_1m_2))}\). Rozumiem, że musimy odjąć to samo, żeby nam nie zmieniło nic, jednak dlaczego wogóle dodajemy?

I tutaj znowu jest samo odejmowanie \(\displaystyle{ f(m_1m_2)}\):
\(\displaystyle{ \sum_{d_1|m_1, d_2|m_2, }^{} f(d_1d_2)+f(m_1)f(m_2)-f(m_1m_2)}\)
Chociaż \(\displaystyle{ f(m_1m_2)-f(m_1m_2)=0}\)

-- 25 cze 2012, o 14:32 --

Dobra mniejsza z tym, ale jak formalnie można wyjaśnić w dowodzie to:
\(\displaystyle{ [\sum_{d_1|m_1, d_2|m_2, d_1d_2 < m_1m_2}^{} f(d_1)f(d_2)]+ f(m_1)f(m_2)+(f(m_1m_2)-f(m_1m_2))=\sum_{d_1|m_1, d_2|m_2, }^{} f(d_1d_2)+f(m_1)f(m_2)-f(m_1m_2)}\)-- 25 cze 2012, o 14:36 --Chyba można napisać, że w równaniu \(\displaystyle{ \sum_{d_1|m_1, d_2|m_2, }^{} f(d_1d_2)+f(m_1)f(m_2)-f(m_1m_2)}\) dodajemy element \(\displaystyle{ f(m_1)f(m_2)}\) dla \(\displaystyle{ d_1d_2=m_1m_2}\), natomiast co z \(\displaystyle{ -f(m_1m_2)}\)

kammeleon18 · Post autor: **kammeleon18** » 25 cze 2012, o 14:15

Przypatrz się dokładnie indeksom. raz sumujesz po wszystkich \(\displaystyle{ d_1d_2}\), a razem po \(\displaystyle{ d_1d_2<n}\). To tak jakby napisał \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1}a_i= \sum_{i=1}^{n}a_i+a_{n+1}}\) T jest takie manipulowanie ostatnim skladnikiem z sumy.

Dla jasności wywodu przeprowadzę rozumowanie z poprzednich postów na przykładzie \(\displaystyle{ n=6}\), \(\displaystyle{ m_1=2}\), \(\displaystyle{ m_2=3}\).
Oczywiście dzielniki 2 to 1 i 2, a dzielniki 3 to 1 i 3.

\(\displaystyle{ g(m_1)g(m_2)= \sum_{d_1|m_1}^{} f(d_1)\sum_{d_2|m_2}^{} f(d_2)=}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{d_1|m_1, d_2|m_2}^{} f(d_1)f(d_2)=f(1)f(1)+f(1)f(3)+f(2)f(1)+f(2)f(3)}\)
Z założenia indukcyjnego
\(\displaystyle{ f(d_1)f(d_2)=f(d_1d_2)}\) dla \(\displaystyle{ d_1d_2 <m_1m_2}\) (czyli dla \(\displaystyle{ d_1d_2<6}\)), a zatem
\(\displaystyle{ \sum_{d_1|m_1, d_2|m_2}^{} f(d_1)f(d_2)=}\)
\(\displaystyle{ [\sum_{d_1|m_1, d_2|m_2, d_1d_2 < m_1m_2}^{} f(d_1)f(d_2)]+ f(m_1)f(m_2)+(f(m_1m_2)-f(m_1m_2))=}\)

I teraz objaśniam co znaczą te sumy
\(\displaystyle{ \sum_{d_1|m_1, d_2|m_2}^{} f(d_1)f(d_2)=f(1)f(1)+f(1)f(3)+f(2)f(1)+f(2)f(3)}\)
Natomiast
\(\displaystyle{ [\sum_{d_1|m_1, d_2|m_2, d_1d_2 < m_1m_2}^{} f(d_1)f(d_2)]=f(1)f(1)+f(1)f(3)+f(2)f(1)}\) bo jest napisane tam "na dole sumy" że iloczyn ma być mniejszy niż \(\displaystyle{ m_1m_2}\).
Na tym przykładzie wyjaśniona jest równość \(\displaystyle{ \sum_{d_1|m_1, d_2|m_2}^{} f(d_1)f(d_2)=}\)
\(\displaystyle{ [\sum_{d_1|m_1, d_2|m_2, d_1d_2 < m_1m_2}^{} f(d_1)f(d_2)]+ f(m_1)f(m_2)}\).

Teraz z założenia indukcyjnego dokonujemy "zamian". Będzie to odpowiednik

Ukryta treść:

\(\displaystyle{ (f(1)f(1)+f(1)f(3)+f(2)f(1))+f(2)f(3)+ f(2 \cdot 3)-f(2 \cdot 3)=(f(1 \cdot 1)+f(1 \cdot )f(3)+f(2 \cdot )f(1)+f(2 \cdot 3)+f(2)f(3)-f(2 \cdot 3)=g(2 \cdot 3)+f(2)f(3)-f(2 \cdot 3)}\)

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 25 cze 2012, o 15:13

Dzięki wielkie za wyczerpujący przykład, uff teraz chyba juz wszystko rozumiem:)
Jeszcze mam pytanie jak formalnie można to wytłumaczyć słowami, mam na myśli to co tutaj sie dzieje.
\(\displaystyle{ \sum_{d_1|m_1, d_2|m_2}^{} f(d_1)f(d_2)=
[\sum_{d_1|m_1, d_2|m_2, d_1d_2 < m_1m_2}^{} f(d_1)f(d_2)]+ f(m_1)f(m_2)+(f(m_1m_2)-f(m_1m_2))=\sum_{d_1|m_1, d_2|m_2, }^{} f(d_1d_2)+f(m_1)f(m_2)-f(m_1m_2)=
g(m_1m_2)+f(m_1)f(m_2)-f(m_1m_2)}\)
Niestety oprócz zapisu potrzebuję jeszcze formalne wytłumaczenie

kammeleon18 · Post autor: **kammeleon18** » 25 cze 2012, o 21:37

Proszę bardzo:)
pierwsza równość to "wyjęcie" ostatniego składnika sumy i zapisanie go obok po znaku dodawania. Druga wynika z założenia indukcyjnego i małych operacji wynikających z przemienności dodawania.
Trzecia wynika z faktu, iż KAŻDEMU dzielnikowi liczby \(\displaystyle{ n}\) można w JEDNOZNACZNY sposób przyporządkować takie liczby \(\displaystyle{ d_1}\) i \(\displaystyle{ d_2}\), że \(\displaystyle{ d_i|m_i}\) (tu potrzebna jest względna pierwszość \(\displaystyle{ m_1}\) i \(\displaystyle{ m_2}\))

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 25 cze 2012, o 22:12

Dzięki jeszcze raz:)