Równanie, nierówność, "Wykaż, że...", "Znajdź liczbę"-4 zad.

[crossik666]

1. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1}\)

2. Wyznacz liczbę wszystkich różnych rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 \le 2004}\) w zbiorze \(\displaystyle{ N_+}\) liczb naturalnych dodatnich.

3. Wykaż, że ułamek \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest liczbą całkowitą złożoną.

4. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną k o tej własności, że wśród dowolnych k różnych liczb
całkowitych można wskazać dwie, których różnica sześcianów jest podzielna przez 9.

[tometomek91]

4.

Ukryta treść:    

Takim \(\displaystyle{ k}\) jest czwórka. Weźmy dowolne cztery różne liczby całkowite \(\displaystyle{ a_i}\) \(\displaystyle{ (i=1,...,4)}\). Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ 9 \nmid a_i^3-a_j^3}\) dla kazdej pary możliwych indeksów, czyli \(\displaystyle{ 3 \nmid a_i-a_j}\). Ale wśród czterech dowolnych liczb całkowitych, jest taka różnica, która dzieli się przez 3, bo wśród czterech liczb są co najmniej dwie dające tę samą resztę z dzielenia przez 3.
Dla mniejszych \(\displaystyle{ k}\) naturalnych łatwo znaleźć takie liczby, które nie spełniałyby tezy.

[Mruczek]

1. Bez straty ogólności: \(\displaystyle{ x \ge y \ge z}\). Zauważ co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ z \ge 4}\).

[cyberciq]

3:    

dla ułatwienia przyjmijmy \(\displaystyle{ 5^{25}=x}\). Ułamek można przekształcić do postaci \(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1}\). Teraz dobrze byłoby pokazać, że to co otrzymaliśmy można zapisać w postaci różnicy kwadratów. Czyli postaramy się dobrać takie naturalne \(\displaystyle{ a,b,c,d,e}\) żeby było \(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+b)^2-cx(dx+e)^2}\) i przy tym \(\displaystyle{ c=k \cdot 5^p}\), k to jakiś kwadrat l. naturalnej i p to l. nieparzysta. wtedy \(\displaystyle{ cx}\) też jest kwadratem. Rozpisując to wszystko i porównując współczynniki, rozwiązując jakiś prosty układ równań w naturalnych można otrzymać, że \(\displaystyle{ a=3,b=1,d=e}\) dalej jak trochę porozpisywać to wychodzi \(\displaystyle{ 11-2d^2 \cdot 5^{p}k=6-5^{p}kd^2}\), stąd \(\displaystyle{ p=1}\), dalej \(\displaystyle{ d^{2}k=1}\) stąd \(\displaystyle{ k=d=1}\) bo wszystkie naturalne, i z tym co wyżej \(\displaystyle{ c=5}\). I już można sobie zapisać, że \(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+3x+1)^2-5x(x+1)^2}\). Teraz wstawiamy sobie za iksa \(\displaystyle{ 5^{25}}\) i mamy \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}=(5^{50}+3 \cdot 5^{25}+1)^2-(5^{13}(5^{25}+1))^2}\) pozostaje to rozpisać ze wzoru skróconego mnożenia i zauważyć, że nasza liczba faktycznie jest złożona. Co prawda można było od razu napisać tożsamość z ostatniej linijki, ale metoda "zauważmy, że coś zachodzi" nie jest zbyt kształcąca

pozdrawiam

[zidan3]

Próba rozwiązania drugiego:
Możliwe, że coś przeoczyłem lub w ogóle jest źle. Proszę, żeby ktoś rzucił okiem.

Ukryta treść:    

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ S_n}\) jako liczbę wszystkich rozwiązań \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=n}\)
Wtedy, wydaje mi się, że liczba wszystkich rozwiązań naszej nierówności wyniesie:
\(\displaystyle{ \mbox{wynik}=\sum_{i=5}^{2004}S_i}\)
Łatwo liczymy \(\displaystyle{ S_{2004}}\). Mianowicie jest to liczba wszystkich kombinacji bez powtórzeń z tym, że nie uwzględniamy \(\displaystyle{ 0}\). Czyli \(\displaystyle{ S_{2004}={1999+4 \choose 4}={2003 \choose 4} \\}\). Dalej łatwo widać \(\displaystyle{ S_{2003}}\) i kolejne
\(\displaystyle{ S_{2003}={2002 \choose 4} \\ S_{2002}={2001 \choose 4} \\ ... \\ S_5={4 \choose 4}}\)
Zatem wynik mamy:
\(\displaystyle{ \mbox{wynik}=\sum_{i=4}^{2003}{i \choose 4}=\sum_{i=0}^{1999}{4+i \choose 4}={4+1999+1 \choose 5}={2004 \choose 5}}\)

[Marcinek665]

Idea ogólnie jest dobra (sam bym tak robił). Nie sprawdzałem jednak obliczeń, w szczególności ostatniej linijki.

[zidan3]

Skoro pomysł jest ok to obliczenia raczej na 95% powinny być dobrze.
Ostatnia linijka z tego wzoru:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}{m+i \choose m}={m+n+1 \choose m+1}}\)
A obliczanie \(\displaystyle{ S_n}\) to w miarę standardowe zadanie z RP czy kombinatoryki.
Dzięki bardzo.

[Inkwizytor]

3. Licznik rozwiń korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ a^5 - b^5}\)

[ksisquare]

2) OK

[adambak]

2) można szybciej:
\(\displaystyle{ x_1+\cdots +x_k \le n}\)
stawiamy \(\displaystyle{ n+1}\) piłeczek w rzędzie i z \(\displaystyle{ n}\) przerw pomiędzy nimi wybieramy \(\displaystyle{ k}\), gdzie stawiamy ścianki.. wtedy powstaje nam \(\displaystyle{ k+1}\) segmentów piłeczek, które kolejno numerujemy i wtedy \(\displaystyle{ x_i}\) to ilość piłeczek w \(\displaystyle{ i-}\)tym segmencie (ostatni (zawsze niepusty (jak i każdy inny) ) segment pomijamy)..