Dowód indukcyjny równości

[patricia__88]

Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2},...,a_{s}}\) są liczbami naturalnymi różnymi od zera i \(\displaystyle{ s}\) jest ustaloną liczba naturalną, to
\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{s}}\right)=\sum_{r=1}^{s}(-1)^{r+1}\sum_{1 \le i_{1}<i_{2}<...<i_{r} \le s}\frac{1}{a_{i_{1}}a_{i_{2}}...a_{i_{r}}}}\).

[bartek118]

Mi to bardziej wygląda na zastosowanie wzoru włączeń i wyłączeń, niż na indukcję

[patricia__88]

No może i tak, ale ja mam to udowodnić indukcyjnie.

[bartek118]

No to zastosuj indukcję - podpowiem, że przy dowodzeniu kroku dla \(\displaystyle{ s+1}\) trzeba wymnożyć ostatni nawias, poza tym idzie bardzo szybko i łatwo

[patricia__88]

Tylko właśnie nie wiem co zrobić z tym \(\displaystyle{ a_{i_{1}},...,a_{i_{r}}}\) to jest jakiś podciąg? Musimy obrać jakieś \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ r}\)?

[bartek118]

Nie, zapisz najpierw założenie indukcyjne i potem tezę indukcyjną

[patricia__88]

Twierdzenie: \(\displaystyle{ \forall_{a_{1},...a_{s}\in\mathbb{N}, \ a_{1},...a_{s} \neq 0}} \forall_{s\in\mathbb{N}} \ \ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{s}}\right)=\sum_{r=1}^{s}(-1)^{r+1}\sum_{1 \le i_{1}<i_{2}<...<i_{r} \le s}\frac{1}{a_{i_{1}}a_{i_{2}}\ldots a_{i_{r}}}}\)

Założenie indukcyjne: Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla ustalonej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\): \(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)=\sum_{r=1}^{k}(-1)^{r+1}\sum_{1 \le i_{1}<i_{2}<...<i_{r} \le k}\frac{1}{a_{i_{1}}a_{i_{2}}\ldots a_{i_{r}}}}\)

Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=\sum_{r=1}^{k+1}(-1)^{r+1}\sum_{1 \le i_{1}<i_{2}<...<i_{r} \le k+1}\frac{1}{a_{i_{1}}a_{i_{2}}\ldots a_{i_{r}}}}\)

Należy najpierw sprawdzić prawdziwość twierdzenia dla \(\displaystyle{ s=1}\)
Zatem otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{1}{a_{1}}=\frac{1}{a_{i_{1}}}}\)

No i właśnie tutaj mam problem...musimy ustalić sobie liczbę \(\displaystyle{ i}\)?

[bartek118]

Dla \(\displaystyle{ s=1}\) mamy \(\displaystyle{ i_{1} = 1}\) i teza jest z głowy.

To teraz weź lewą stronę tezy indukcyjnej i wymnóż ostatni z prawej strony nawias.

[patricia__88]

\(\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=\frac{a_{k+1}-1}{a_{k+1}}}\)

[bartek118]

Nie o to chodzi. Chodzi o to, że jak masz:

\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right)}\)

To wymnóż ostatni nawias po prawej przez to z lewej

[patricia__88]

\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=1-\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}-\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{1}a_{k+1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)\ldots=1-\left(1-\frac{a_{1}-a_{k+1}+1}{a_{1}a_{k+1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)\ldots=1-\left(1-\frac{1}{a_{2}}-\frac{a_{1}-a_{k+1}+1}{a_{1}a_{k+1}}+\frac{a_{1}-a_{k+1}+1}{a_{1}a_{2}a_{k+1}}\right)\ldots=1-\left(1-\frac{a_{1}a_{k+1}-a_{1}a_{2}-a_{2}a_{k+1}+a_{2}+a_{1}-a_{k+1}+1}{a_{1}a_{2}a_{k+1}}\right)\ldots \\ =\frac{a_{1}a_{k+1}-a_{1}a_{2}-a_{2}a_{k+1}+a_{2}+a_{1}-a_{k+1}+1}{a_{1}a_{2}a_{k+1}}\ldots}\)-- 4 kwi 2012, o 20:08 --Tylko tak naprawde to nie wiem czemu to ma służyć, o ile o to Ci chodziło...?

[bartek118]

Chodziło mi o to:

\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right) = \\ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right) + \frac{1}{a_{k}}\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)}\)

Teraz wykorzystaj założenie indukcyjne

[patricia__88]

A możesz napisać skąd Ci się coś takiego wogóle wzięło? Bo za nic nie mogę do tego dojść.

[bartek118]

Oznacz sobie \(\displaystyle{ X = \left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right) = 1 - X \left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right) = 1 - X + X \cdot \frac{1}{a_{k+1}}}\)

[patricia__88]

Chodziło mi o to:

\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right) = \\ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right) + \frac{1}{a_{k}}\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)}\)

No tak teraz się zgadza, jednak w tym równaniu jest błąd powinno być
\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right) = \\ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right) + \frac{1}{a_{k+1}}\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)}\)-- 5 kwi 2012, o 17:56 --Korzystając z założenia mamy:
\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right) + \frac{1}{a_{k+1}}\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)=\left(\sum_{r=1}^{k}(-1)^{r+1}\sum_{1 \le i_{1}<i_{2}<...<i_{r} \le k}\frac{1}{a_{i_{1}}a_{i_{2}}\ldots a_{i_{r}}}\right)+\frac{1}{a_{k+1}}\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)}\)?