Dowód indukcyjny równości

[bartek118]

Zgadza się, ale zastosuj jeszcze założenie indukcyjne dla tych drugich nawiasów

[patricia__88]

\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right) =\left(\sum_{r=1}^{k}(-1)^{r+1}\sum_{1 \le i_{1}<i_{2}<...<i_{r} \le k}\frac{1}{a_{i_{1}}a_{i_{2}}\ldots a_{i_{r}}}\right)+\frac{1}{a_{k+1}}\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)}\)

O to chodziło? I jak to udowodnić?

[Jan Kraszewski]

Nie o to chodziło.

Niech \(\displaystyle{ \left(\sum_{r=1}^{k}(-1)^{r+1}\sum_{1 \le i_{1}<i_{2}<...<i_{r} \le k}\frac{1}{a_{i_{1}}a_{i_{2}}\ldots a_{i_{r}}}\right)=S}\). Wtedy

\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=\\=S+\frac{1}{a_{k+1}}(1-S)=S-\frac{1}{a_{k+1}}\cdot S+\frac{1}{a_{k+1}}}\)

Teraz musisz zauważyć/uzasadnić, że

\(\displaystyle{ S-\frac{1}{a_{k+1}}\cdot S+\frac{1}{a_{k+1}}=\left(\sum_{r=1}^{k+1}(-1)^{r+1}\sum_{1 \le i_{1}<i_{2}<...<i_{r} \le k+1}\frac{1}{a_{i_{1}}a_{i_{2}}\ldots a_{i_{r}}}\right).}\)

Ideologicznie jest to podobne do tego długiego dowodu tutaj: 293201.htm .

JK

[patricia__88]

Nie o to chodziło.

Niech \(\displaystyle{ \left(\sum_{r=1}^{k}(-1)^{r+1}\sum_{1 \le i_{1}<i_{2}<...<i_{r} \le k}\frac{1}{a_{i_{1}}a_{i_{2}}\ldots a_{i_{r}}}\right)=S}\). Wtedy

\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=\\=S+\frac{1}{a_{k+1}}(1-S)=S-\frac{1}{a_{k+1}}\cdot S+\frac{1}{a_{k+1}}}\)
JK

Skoro tutaj te sumy oznaczamy przez \(\displaystyle{ S}\), a nie jednak nawiasy, to nie rozumiem znowu skąd to się bierze \(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=\\=S+\frac{1}{a_{k+1}}(1-S)}\)

[Jan Kraszewski]

Skoro tutaj te sumy oznaczamy przez \(\displaystyle{ S}\), a nie jednak nawiasy, to nie rozumiem znowu skąd to się bierze \(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=\\=S+\frac{1}{a_{k+1}}(1-S)}\)

Z założenia indukcyjnego masz, że

\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)=S.}\)

Wobec tego

\(\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)=1-S.}\)

Zatem

\(\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=\\
=(1-S)\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=1-\frac{1}{a_{k+1}}-S\cdot\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right),}\)

czyli

\(\displaystyle{ 1-\left(1-\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{a_{k}}\right)\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=\\
=\frac{1}{a_{k+1}}+S\cdot\left(1-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=S+\frac{1}{a_{k+1}}(1-S).}\)

JK