Czy jest jakis sposob na znalezienie liczb dla ktorych dane wyrazenie jest szescianem? Jakie wlasnosci powinno spelniac takie wyrazenie? Chodzi mi w szczegolnosci o nastepujace zadanko:
Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ k}\) , dla których liczba \(\displaystyle{ 3k^2+3k+7}\) jest sześcianem liczby naturalnej.
Przepraszam bardzo za taki zapis ale jak widac jestem nowym uzytkownikiem i jeszcze nie do konca potrafie korzystac z latexa. Z gory dziekuje za pomoc.
Szukanie liczb dla ktorych wyrazenie jest szescianem
-
MrowkaBalbinka
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 7 lut 2012, o 14:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łomża
Szukanie liczb dla ktorych wyrazenie jest szescianem
Ostatnio zmieniony 24 mar 2012, o 23:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Szukanie liczb dla ktorych wyrazenie jest szescianem
\(\displaystyle{ 3(k^2+k+2)+1=x^3}\)
Lewa strona daje resztę jeden modulo trzy - to znaczy, że \(\displaystyle{ x=3m+1}\), bo liczby i ich sześciany dają w dzieleniu przez trzy takie same reszty.
\(\displaystyle{ 3(k^2+k+2)=x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)=3m\left(9m^2+9m+3\right)}\)
\(\displaystyle{ k(k+1)+2=3m\left(3m^2+3m+1\right)}\)
To równanie nie ma rozwiązań, bo \(\displaystyle{ k(k+1)}\) daje w dzieleniu przez trzy resztę \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 2}\), a prawa strona jest podzielna przez trzy.
Lewa strona daje resztę jeden modulo trzy - to znaczy, że \(\displaystyle{ x=3m+1}\), bo liczby i ich sześciany dają w dzieleniu przez trzy takie same reszty.
\(\displaystyle{ 3(k^2+k+2)=x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)=3m\left(9m^2+9m+3\right)}\)
\(\displaystyle{ k(k+1)+2=3m\left(3m^2+3m+1\right)}\)
To równanie nie ma rozwiązań, bo \(\displaystyle{ k(k+1)}\) daje w dzieleniu przez trzy resztę \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 2}\), a prawa strona jest podzielna przez trzy.