Tożsamość dla liczb nieujemnych

[tatteredspire]

Pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N_+}}\), mając \(\displaystyle{ n}\) dowolnie wybranych liczb nieujemnych \(\displaystyle{ a_i}\), istnieje takie \(\displaystyle{ p \in \mathbb{N_+}}\), że możemy dobrać \(\displaystyle{ p}\) liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ z_j}\), że zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i=\sum_{j=1}^{p} {z_j}^2}\)


Ściśle: \(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbb{N_+}}\left(\forall_{a_i \ge 0,_{i=1,2,...,n}}\left(\exists_{p \in \mathbb{N_+}}\left(\exists_{z_j \in \mathbb{R},_{j=1,2,...,p}} } \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i=\sum_{j=1}^{p} {z_j}^2\right)\right)\right)}\)

Potocznie: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i}\) (przy podanych powyżej warunkach) można zawsze przedstawić w postaci sumy kwadratów.

[Zordon]

To co piszesz jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i\geq 0}\), co jest niewątpliwie prawdą, z nierówności między średnimi.

[tatteredspire]

Ok, źle się wyraziłem, chodzi mi o to jak pokazać, że można przedstawić \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i}\) jako sumę kwadratów (w sensie doprowadzić do postaci takiej sumy przy \(\displaystyle{ n}\) dowolnym).

[Qń]

Nie trzeba pokazywać, że liczbę nieujemną można przedstawić jako sumę kwadratów, bo to oczywiste, nie ma tu czego pokazywać. A jeśli już trzeba jakiegoś przykładu to chociażby:
\(\displaystyle{ b=\sum_{j=1}^p\left( \sqrt{\frac bp} \right)^2}\)

Q.

[tatteredspire]

Nie trzeba pokazywać, że liczbę nieujemną można przedstawić jako sumę kwadratów, bo to oczywiste, nie ma tu czego pokazywać. A jeśli już trzeba jakiegoś przykładu to chociażby:
\(\displaystyle{ b=\sum_{j=1}^p\left( \sqrt{\frac bp} \right)^2}\)

Q.

Tak, wiem, macie rację, że nie trzeba, ale źle się wyraziłem (odpowiedź na post Zordona). Powinienem był zapytać "W jaki sposób zapisać \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i}\) jako sumę kwadratów?".

[Majeskas]

Choćby na takiej zasadzie, jak zrobił to Qń. Możemy po prostu wziąć \(\displaystyle{ p=2}\), \(\displaystyle{ z_1=z_2=\left( \frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^na_i^n-n\prod_{i=1}^na_i\right) \right)^{1/2}}\)