hipoteza Sierpińskiego

[21mat]

Wykaż że z hipotezy Sierpińskiego wynika twierdzenie Czebyszewa. Jak to pokazać?

[Kartezjusz]

Chodzi o to twierdzenie z liczbą pierwszą pomiędzy n ,a 2n ?

[21mat]

Tak

[Kartezjusz]

Zauważ,że w tłumaczeniu na nasze hipoteza Sierpińskiego mówi,że
dla każdej \(\displaystyle{ s \ge 2}\) znajdziemy taką liczbę m, funkcja eulera nie zmieni się po s razach(liczący charakter funkcji) .Weźmy s=n(dokładnie s rozwiązań)
Wówczas wśród liczb (x,x+1....x+n) tylko ta ostatnia jest pierwsza . gdzie x jest najmniejszym z rozwiązań równania z hipotezy. Pokażę teraz nierówność indukcyjnie
Załóżmy,że nierówność zaszła dla wszystkich mniejszych lub równych n-1. Z tej uwagi powyżej wiemy,że że wśród liczb od x do x+n jest dokładnie jedna liczba pierwsza. Pokażę teraz,że \(\displaystyle{ x \ge n}\)
Załóżmy niewprost,że ,że jest wprost przeciwnie \(\displaystyle{ x < n}\)wówczas
\(\displaystyle{ (x,2x) \subset (x,x+n)}\) czyli na mocy założenia indukcyjnego mamy tu liczbę pierwszą mniejszą niż \(\displaystyle{ x+n}\) ,co daje nam sprzeczność z hipotezą Sierpińskiego . Skoro wiemy już,że
\(\displaystyle{ x \ge n}\) wiemy,że \(\displaystyle{ n \le x ;x+n \le 2n}\),co daje nam tezę tw Czebyszewa.