Witam, mam problem z zadaniem:
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ x>1}\), to \(\displaystyle{ x^{2009} -1>2009(x-1)}\)
Dowód, że nierówność zachodzi
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Dowód, że nierówność zachodzi
Okazuje się trochę więcej
\(\displaystyle{ n \in \mathbb{N} \wedge x>1}\)
to
\(\displaystyle{ x^{n}-1>n(x-1)}\)
Przenieśmy wszystko na jedną stronę
\(\displaystyle{ x^{n}-1-n(x-1)>0}\)
Ze wzoru na różnicę n-tych potęg można wyłączyć przed nawias wspólny element i mamy
\(\displaystyle{ (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x^{2}+x+1-n)}\)
Teraz zostaje zauważyć dla\(\displaystyle{ x>1}\)oba nawiasy są dodatnie,bo n-te potęgi liczb większych od 1 są większe od 1 ,a tych jest\(\displaystyle{ n}\) w drugim nawiasie
\(\displaystyle{ n \in \mathbb{N} \wedge x>1}\)
to
\(\displaystyle{ x^{n}-1>n(x-1)}\)
Przenieśmy wszystko na jedną stronę
\(\displaystyle{ x^{n}-1-n(x-1)>0}\)
Ze wzoru na różnicę n-tych potęg można wyłączyć przed nawias wspólny element i mamy
\(\displaystyle{ (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x^{2}+x+1-n)}\)
Teraz zostaje zauważyć dla\(\displaystyle{ x>1}\)oba nawiasy są dodatnie,bo n-te potęgi liczb większych od 1 są większe od 1 ,a tych jest\(\displaystyle{ n}\) w drugim nawiasie
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Dowód, że nierówność zachodzi
Jak przeniesiemy wszystko na jedną stronę otrzymamy
\(\displaystyle{ f(x)=x^{n}-n(x-1)-1}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=nx^{n-1}-n}\)
Łatwo zauważyć,że
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1}\) a dodatkowo,jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste to też x=-1 dodatkowo.
Zauważmy też x>1 czyli potęga liczby większej od 1 jest większa od 1,czyli pochodna jest dodatnia,czyli w x=1 mamy minimum.
\(\displaystyle{ f(x)=x^{n}-n(x-1)-1}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=nx^{n-1}-n}\)
Łatwo zauważyć,że
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1}\) a dodatkowo,jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste to też x=-1 dodatkowo.
Zauważmy też x>1 czyli potęga liczby większej od 1 jest większa od 1,czyli pochodna jest dodatnia,czyli w x=1 mamy minimum.
-
Marcinek665
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Dowód, że nierówność zachodzi
Najszybciej to chyba tak:
\(\displaystyle{ ... \Leftrightarrow \frac{x^{2009} + \overbrace{1 + 1 + ... + 1}^{2008}}{2009} > x}\), a to jest prawda, co potwierdzają średnie arytmetyczne i geometryczne, mówiąc dodatkowo, że skoro \(\displaystyle{ x>1}\) to nierówność jest ostra.
\(\displaystyle{ ... \Leftrightarrow \frac{x^{2009} + \overbrace{1 + 1 + ... + 1}^{2008}}{2009} > x}\), a to jest prawda, co potwierdzają średnie arytmetyczne i geometryczne, mówiąc dodatkowo, że skoro \(\displaystyle{ x>1}\) to nierówność jest ostra.