Najmniejsza suma

[kisiu111]

Niech a,b,c będą liczbami dodatnimi, spełnającymi warunek: \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}\). Wyznacz najmniejszą wartość sumy \(\displaystyle{ S=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}}\)

[Tristan]

Skorzystam tutaj z nierówności prawdziwej, dla \(\displaystyle{ x,y,z \mathbb{R}_{+}}\):
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 q xy+yz+zx}\)
Łatwo można ją udowodnić przemnażając przez 2, przenosząc na jedną stronę i korzystając z wzorów skróconego mnożenia, ponieważ otrzymamy wtedy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}[ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ] q 0}\). Widzimy ponadto, że równość zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ x=y=z}\).

Zauważmy, że \(\displaystyle{ S^2= ( \frac{ab}{c})^2 + ( \frac{bc}{a})^2 + ( \frac{ca}{b})^2+ 2 ( b^2 +a^2 +c^2)}\), więc:
\(\displaystyle{ S^2 - 2= \frac{ (ab)^2 }{c^2 } + \frac{ (bc)^2 }{ a^2 } + \frac{ (ca)^2 }{b^2} = \frac{ [(ab)^2]^2 + [ (bc)^2]^2 + [ (ca)^2]^2 }{ (abc)^2} q \frac{ a^2 b^4 c^2 +b^2 c^4 a^2 + c^2 a^4 b^2 }{ (abc)^2 }= \frac{ (abc)^2 ( a^2+b^2+c^2 )}{(abc)^2}= a^2+b^2+c^2=1}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ S^2 - 2 q 1 \\ S^2 q 3 \\ S q \sqrt{3}}\)
Zauważmy, że równość \(\displaystyle{ S= \sqrt{3}}\) zachodzi w przypadku, gdy \(\displaystyle{ a=b=c}\).