wykaż że suma jest równa 0 lub -1
wykaż że suma jest równa 0 lub -1
Wykaż, że suma \(\displaystyle{ 1 ^{n}+2 ^{n}+...+ \left( p-1 \right) ^{n} \pmod{p}}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ -1}\)
Ostatnio zmieniony 17 mar 2012, o 11:31 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol modulo to \pmod
Powód: Symbol modulo to \pmod
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
wykaż że suma jest równa 0 lub -1
Zauważmy, że wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ 1\leq n\leq p-1}\). Reszta wyniknie z małego tw. Fermata.
Przypadek \(\displaystyle{ p=2}\) lepiej sprawdzić osobno.
Dla \(\displaystyle{ n=p-1}\) łatwo sprawdzić, że jest ok, suma to \(\displaystyle{ p-1=-1}\).
Dla \(\displaystyle{ 1\leq n<p-1}\) pokazujemy przez indukcję, że wychodzi 0. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) znasz z pewnością wzór na tę sumę, więc ok. Dla \(\displaystyle{ n>1}\) robimy krok indukcyjny. Rozważ sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p-1}(k+1)^{n+1}-\sum_{k=0}^{p-1}k^{n+1}}\).
Z jednej strony jest to po prostu \(\displaystyle{ 0\pmod{p}}\), a po rozpisaniu z dwumianu Newtona, można skorzystać z założenia indukcyjnego.
Przypadek \(\displaystyle{ p=2}\) lepiej sprawdzić osobno.
Dla \(\displaystyle{ n=p-1}\) łatwo sprawdzić, że jest ok, suma to \(\displaystyle{ p-1=-1}\).
Dla \(\displaystyle{ 1\leq n<p-1}\) pokazujemy przez indukcję, że wychodzi 0. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) znasz z pewnością wzór na tę sumę, więc ok. Dla \(\displaystyle{ n>1}\) robimy krok indukcyjny. Rozważ sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p-1}(k+1)^{n+1}-\sum_{k=0}^{p-1}k^{n+1}}\).
Z jednej strony jest to po prostu \(\displaystyle{ 0\pmod{p}}\), a po rozpisaniu z dwumianu Newtona, można skorzystać z założenia indukcyjnego.