niewymiernosci liczb i inne

[tiktak091997]

1.Pisząc kolejne wielokrotności liczby \(\displaystyle{ 3}\), otrzymujemy rozwinięci dziesiętne nieskończone

\(\displaystyle{ 0.3691215182124273033...}\)

Uzasadnij że jest to liczna niewymierna>

2. Dane są liczby nieujemne \(\displaystyle{ a, b, c}\) takie, że \(\displaystyle{ a+b+c=1}\). Uzasadnij że

\(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(a+c) \le \frac{8}{27}}\)

Proszę o chociaż jedno z tych zadań:)

[szw1710]

ad 2. Bezpośrednie zastosowanie nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{xyz}\le\frac{x+y+z}{3}}\)

dla liczb nieujemnych \(\displaystyle{ x,y,z.}\)

[ares41]

2)
Przy warunku \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) mamy:
\(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(a+c)=(1-c)(1-a)(1-b)}\)
Z nierówności pomiędzy średnią geometryczną a arytmetyczną dostajemy natomiast:
\(\displaystyle{ \left( 1-c \right) \left( 1-a \right) \left( 1-b \right) \le \left( \frac{ \left( 1-c \right) + \left( 1-a \right) + \left( 1-b \right) }{3} \right) ^3= \frac{ \left( 3- \left( a+b+c \right) \right) ^3}{27} = \frac{8}{27}}\)
cbdo.

[tiktak091997]

Dzieki wielkie za pomoc przy tym zadaniu mniej wiecej rozumiem tylko czy moglbys mi jeszcze wytlumaczyc to przejscie miedzy srednia geometryczna a arytmetyczna?

[szw1710]

To jest znana nierówność, w moim poście ją napisałem.