tw. Czebyszewa

[21mat]

Udowodnij że \(\displaystyle{ p _{n} < 2 ^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ p _{n}}\) to kolejne liczby pierwsze. Wykorzystaj tw. Czebyszewa. Jak się zabrać do tego?

[ares41]

Nie jestem pewien, ale chyba wystarczy tak :
Z tw. Czebyszewa mamy \(\displaystyle{ p_n \le 2n}\)
A dla \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N},\ n>2}\) mamy \(\displaystyle{ 2^n > 2n}\) skąd \(\displaystyle{ p_n < 2^n}\) qed

[m-2]

Z tw. Czebyszewa mamy \(\displaystyle{ p_n \le 2n}\)

To nie jest prawda.



Rozpatrz \(\displaystyle{ n}\) przedziałów: \(\displaystyle{ (2^0,2^1],(2^1,2^2],\ldots,(2^{n-1},2^n].}\) Z tw. Czebyszewa w każdym z tych przedziałów znajduje się przynajmniej jedna liczba pierwsza. Ponadto \(\displaystyle{ 2^n}\) nie jest liczbą pierwszą dla \(\displaystyle{ n>1}\), więc \(\displaystyle{ p_n<2^n.}\)

[21mat]

Ok, dzięki