Na angielskiej wikipedii można znaleźć sporo wzorów powiązanych z liczbą - nie ma tam jednak wszystkich dowodów, nawet odsyłaczy nie ma dość często. Moją uwagę zwróciły trzy z nich:
\(\displaystyle{ \begin{flushleft} \lim_{n \to \infty}10^{n+2}\sin \left ( \frac{1}{\underbrace{55\ldots 5}_{n}} \right ) = \pi \end{flushleft}\[\]
\begin{left} \frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\times\frac{5}{4}\times\frac{7}{8}\times\frac{11}{12}\times\frac{13}{12}\times\frac{17}{16}\times\frac{19}{20}\times\frac{23}{24}\ldots \end{left}
\begin{flushleft} \pi=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\ldots \end{flushleft}}\)
W pierwszym wzorze funkcja sinus jest brana od kąta wyrażonego w stopniach.
W drugim wzorze liczniki to kolejne liczby pierwsze a mianowniki to najbliższe leżące tej liczby wielokrotności czwórki.
W trzecim wzorze minus się pojawia gdy mianownik jest liczbą pierwszą postaci 4m+1, plus gdy jest podzielna przez dwa lub jest liczbą pierwszą postaci 4m-1, a gdy jest złożona to znak zależy od rozkładu np. \(\displaystyle{ 39=13\times 3}\). Jeden z czynników jest liczbą pierwszą postaci 4m-1 a drugi 4m+1 więc bierzemy minus i plus co daje minus.
Moje pytanie brzmi czy ktoś zna lub wie gdzie można znaleźć w internecie dowody tych wzorów? Szczególnie mnie interesują dwa ostatnie
P.S. Wzory 2 i 3 pochodzą od Eulera