Czy istnieją jakieś inne pary liczb naturalnych niż \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ y=1}\), takie że poniższe wyrażenie da nam liczbę naturalną:
\(\displaystyle{ \frac {3^{y}-2^{y}}{2^{x+y}-3^{y}}}\)
Wyrażenie diofantyczne
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wyrażenie diofantyczne
Pójdziemy trochę dalej i znajdziemy wszystkie całkowite dodatnie liczby \(\displaystyle{ x,y}\) dla których dane wyrażenie będzie liczbą całkowitą, a następnie sprawdzimy dla których dana wartość będzie naturalna. Załóżmy, że dla pewnych x,y dany ułamek jest całkowity, wówczas zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \frac{3^y-2^y}{2^{x+y}-3^y} = -\frac{3^y-2^y}{3^y-2^{x+y}} = -\frac{3^y-2^x\cdot 2^y+(2^x-1)\cdot 2^y}{3^y-2^{x+y}} = -1-\frac{(2^x-1)\cdot 2^y}{3^y-2^{x+y}}}\)
Więc \(\displaystyle{ \frac{3^y-2^y}{2^{x+y}-3^y} \in \mathbb_{Z} \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ \frac{(2^x-1)\cdot 2^y}{3^y-2^{x+y}} \in \mathbb_{Z}}\)
Czyli ma zachodzić \(\displaystyle{ 3^y-2^{x+y} | (2^x-1)\cdot 2^y}\), ale \(\displaystyle{ (3^y-2^{x+y} , 2) = 1}\) więc dana podzielność jest równoważna \(\displaystyle{ 3^y-2^{x+y} | 2^x-1}\)
Rozpatrzmy przypadek, gdy \(\displaystyle{ |3^y-2^{x+y}| \ge 2}\), /// edit tutaj trochę było nie tak, popatrzę jeszcze na ten przypadek ///
Zostaje rozpatrzeć przypadek, gdy \(\displaystyle{ 3^y-2^{x+y} = \pm 1}\)
Rozpatrzmy pierwszy przypadek, \(\displaystyle{ 3^y-1 = 2^{x+y}}\), czyli rozpatrując dane równanie modulo 4 dostajemy \(\displaystyle{ 3^y \equiv 1\pmod{4} \Leftrightarrow (-1)^y \equiv 1\pmod{4}}\) skąd \(\displaystyle{ 2|y \Leftrightarrow y=2k , k\in \mathbb_{Z_+}}\)
Czyli dostajemy \(\displaystyle{ 3^{2k}-1 = 2^{x+y} \Leftrightarrow (3^k-1)(3^k+1) = 2^{x+y}}\), jednak \(\displaystyle{ (3^k-1 , 3^k+1) = 2}\), oraz oba czynniki muszą być pewnymi potęgami dwójki, \(\displaystyle{ 3^k-1 < 3^k+1}\) skąd \(\displaystyle{ 3^k-1 = 2 \wedge 3^k+1 = 4 \Leftrightarrow k=1}\) a to nam daje \(\displaystyle{ y=2}\) z czego dostajemy \(\displaystyle{ x=1}\) czyli mamy parę \(\displaystyle{ (x,y) = (1,2)}\), jednak dla niej wyrażenie przyjmuje wartość \(\displaystyle{ -5}\) co nie jest naturalne.
Rozpatrzmy drugi przypadek, \(\displaystyle{ 3^y+1 = 2^{x+y}}\) rozpatrując dane równanie modulo 4 widzimy, że \(\displaystyle{ 3^y \equiv -1\pmod{4} \Leftrightarrow (-1)^y \equiv -1\pmod{4} \Leftrightarrow y = 2k+1 , k\in \mathbb_{Z_+}}\) \(\displaystyle{ \cup \lbrace 0\rbrace}\), czyli dostajemy:
\(\displaystyle{ 3^{2k+1}+1 = 2^{2k+x+1}}\), rozpatrując dane równanie modulo 3 dostajemy \(\displaystyle{ 2^{2k+x+1} \equiv 1 \pmod{3} \Leftrightarrow (-1)^{2k+x+1} \equiv 1\pmod{3} \Leftrightarrow 2 | 2k+x+1 \Leftrightarrow 2 | x+1 \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x = 2l+1 , l\in \mathbb_{Z_+}}\) \(\displaystyle{ \cup \lbrace 0\rbrace}\)
Podstawiając otrzymujemy \(\displaystyle{ 3^{2k+1} = 2^{2k+2l+2}-1}\), zauważmy, że jeżeli przynajmniej jedna z liczb k,l nie jest zerem, to \(\displaystyle{ 2k+2l+2 \ge 3}\), wtedy rozpatrując dane równanie modulo 8 dostajemy \(\displaystyle{ -1 \equiv 3^{2k+1} \equiv 3\cdot 3^{2k} \equiv 3\cdot 9^k \equiv 3\pmod{8}}\) sprzeczność, z czego wynika, że musi być \(\displaystyle{ k=l=0}\) a to nam daje parę \(\displaystyle{ (x,y) = (1,1)}\), dla którego nasz ułamek wynosi 1, czyli nie istnieją inne pary liczb całkowitych dodatnich x,y oprócz \(\displaystyle{ (x,y) = (1,1)}\) dla których dany ułamek przyjmuje wartość naturalną.
\(\displaystyle{ \frac{3^y-2^y}{2^{x+y}-3^y} = -\frac{3^y-2^y}{3^y-2^{x+y}} = -\frac{3^y-2^x\cdot 2^y+(2^x-1)\cdot 2^y}{3^y-2^{x+y}} = -1-\frac{(2^x-1)\cdot 2^y}{3^y-2^{x+y}}}\)
Więc \(\displaystyle{ \frac{3^y-2^y}{2^{x+y}-3^y} \in \mathbb_{Z} \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ \frac{(2^x-1)\cdot 2^y}{3^y-2^{x+y}} \in \mathbb_{Z}}\)
Czyli ma zachodzić \(\displaystyle{ 3^y-2^{x+y} | (2^x-1)\cdot 2^y}\), ale \(\displaystyle{ (3^y-2^{x+y} , 2) = 1}\) więc dana podzielność jest równoważna \(\displaystyle{ 3^y-2^{x+y} | 2^x-1}\)
Rozpatrzmy przypadek, gdy \(\displaystyle{ |3^y-2^{x+y}| \ge 2}\), /// edit tutaj trochę było nie tak, popatrzę jeszcze na ten przypadek ///
Zostaje rozpatrzeć przypadek, gdy \(\displaystyle{ 3^y-2^{x+y} = \pm 1}\)
Rozpatrzmy pierwszy przypadek, \(\displaystyle{ 3^y-1 = 2^{x+y}}\), czyli rozpatrując dane równanie modulo 4 dostajemy \(\displaystyle{ 3^y \equiv 1\pmod{4} \Leftrightarrow (-1)^y \equiv 1\pmod{4}}\) skąd \(\displaystyle{ 2|y \Leftrightarrow y=2k , k\in \mathbb_{Z_+}}\)
Czyli dostajemy \(\displaystyle{ 3^{2k}-1 = 2^{x+y} \Leftrightarrow (3^k-1)(3^k+1) = 2^{x+y}}\), jednak \(\displaystyle{ (3^k-1 , 3^k+1) = 2}\), oraz oba czynniki muszą być pewnymi potęgami dwójki, \(\displaystyle{ 3^k-1 < 3^k+1}\) skąd \(\displaystyle{ 3^k-1 = 2 \wedge 3^k+1 = 4 \Leftrightarrow k=1}\) a to nam daje \(\displaystyle{ y=2}\) z czego dostajemy \(\displaystyle{ x=1}\) czyli mamy parę \(\displaystyle{ (x,y) = (1,2)}\), jednak dla niej wyrażenie przyjmuje wartość \(\displaystyle{ -5}\) co nie jest naturalne.
Rozpatrzmy drugi przypadek, \(\displaystyle{ 3^y+1 = 2^{x+y}}\) rozpatrując dane równanie modulo 4 widzimy, że \(\displaystyle{ 3^y \equiv -1\pmod{4} \Leftrightarrow (-1)^y \equiv -1\pmod{4} \Leftrightarrow y = 2k+1 , k\in \mathbb_{Z_+}}\) \(\displaystyle{ \cup \lbrace 0\rbrace}\), czyli dostajemy:
\(\displaystyle{ 3^{2k+1}+1 = 2^{2k+x+1}}\), rozpatrując dane równanie modulo 3 dostajemy \(\displaystyle{ 2^{2k+x+1} \equiv 1 \pmod{3} \Leftrightarrow (-1)^{2k+x+1} \equiv 1\pmod{3} \Leftrightarrow 2 | 2k+x+1 \Leftrightarrow 2 | x+1 \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x = 2l+1 , l\in \mathbb_{Z_+}}\) \(\displaystyle{ \cup \lbrace 0\rbrace}\)
Podstawiając otrzymujemy \(\displaystyle{ 3^{2k+1} = 2^{2k+2l+2}-1}\), zauważmy, że jeżeli przynajmniej jedna z liczb k,l nie jest zerem, to \(\displaystyle{ 2k+2l+2 \ge 3}\), wtedy rozpatrując dane równanie modulo 8 dostajemy \(\displaystyle{ -1 \equiv 3^{2k+1} \equiv 3\cdot 3^{2k} \equiv 3\cdot 9^k \equiv 3\pmod{8}}\) sprzeczność, z czego wynika, że musi być \(\displaystyle{ k=l=0}\) a to nam daje parę \(\displaystyle{ (x,y) = (1,1)}\), dla którego nasz ułamek wynosi 1, czyli nie istnieją inne pary liczb całkowitych dodatnich x,y oprócz \(\displaystyle{ (x,y) = (1,1)}\) dla których dany ułamek przyjmuje wartość naturalną.