Suma ułamków

[lestkievich]

Aby ułamek \(\displaystyle{ \frac{7a+6b}{4200}}\) dał się skrócić, to musiałby istnieć dzielnik
\(\displaystyle{ NWD(4200,7a+6b)\ne 1}\) taki, że w rozkładzie na kanonicznymi \(\displaystyle{ NWD(4200,7a+6b)=2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d}\) oraz

\(\displaystyle{ a\in \{0,1,2,3\}}\)

\(\displaystyle{ b\in \{0,1,\}}\)

\(\displaystyle{ c\in \{0,1,2\}}\)

\(\displaystyle{ d\in \{0,1\}}\)

dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c,d}\)

Jeżeli
\(\displaystyle{ NWD(4200,7a+6b)=2}\), to
\(\displaystyle{ 2}\) dzieli \(\displaystyle{ 4200}\) i dwa dzieli \(\displaystyle{ 6b}\), w taki razie \(\displaystyle{ 2}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\) bo dwa nie dzieli \(\displaystyle{ 7}\). Sprzeczność bo to oznacz ze pierwszy ułamek sie skraca przez \(\displaystyle{ 2}\).

Wniosek: w rozkładzie na postać kanoniczna \(\displaystyle{ NWD(4200,7a+6b)}\) dwójki nie ma . Czyli \(\displaystyle{ a=0}\)
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Jeżeli
\(\displaystyle{ NWD(4200,7a+6b)=3}\), to
\(\displaystyle{ 3}\)dzieli \(\displaystyle{ 4200}\) i trzy dzieli \(\displaystyle{ 6b}\), w taki razie \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\) bo \(\displaystyle{ 3}\) nie dzieli\(\displaystyle{ 7}\). Sprzeczność bo to oznacz ze pierwszy ułamek sie skraca przez \(\displaystyle{ 3}\).
Wniosek: w rozkładzie na postać kanoniczna \(\displaystyle{ NWD(4200,7a+6b)}\) nie ma liczby 3. Czyli \(\displaystyle{ b=0}\)
-----------------------------------------------------------------------------
Jeżeli
\(\displaystyle{ NWD(4200,7a+6b)=5}\), to
\(\displaystyle{ 5}\) dzieli \(\displaystyle{ 4200}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) nie dzieli \(\displaystyle{ 6}\) ani \(\displaystyle{ 7}\), to musi dzielić \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\), sprzeczność bo to uprasza oba ułamki

Wniosek:rozkładzie liczby \(\displaystyle{ NWD(4200,7a+6b)}\) nie ma \(\displaystyle{ 5}\). Czyli \(\displaystyle{ c=0}\)
---------------------------------------------------------------------------------------------
Jeżeli
\(\displaystyle{ NWD(4200,7a+6b)=7}\), to
\(\displaystyle{ 7}\) dzieli \(\displaystyle{ 4200}\) i \(\displaystyle{ 7}\) dzieli \(\displaystyle{ 7a}\), to \(\displaystyle{ 7}\)dzieli \(\displaystyle{ 6b}\), \(\displaystyle{ 7}\) dzieli\(\displaystyle{ b}\) sprzeczność bo to uprasza drugi ułamek przez \(\displaystyle{ 7}\).

Wniosek: rozkładzie liczby \(\displaystyle{ NWD(4200,7a+6b)}\) nie ma \(\displaystyle{ 7}\). Czyli \(\displaystyle{ d=0}\)

Uzyskałem że licznik jest względnie pierwszy z mianownikiem.

Ułamek \(\displaystyle{ \frac{7a+6b}{4200}}\) jest nieskracalny przy założeniu ,że \(\displaystyle{ \frac{a}{600}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b}{700}}\) są niekracalne

[abc666]

Ułamek \(\displaystyle{ \frac{7a+6b}{4200}}\) jest nieskracalny przy założeniu ,że \(\displaystyle{ \frac{a}{600}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b}{700}}\) są niekracalne

Nie czytałem całego Twojego postu, ale wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a=7}\) i \(\displaystyle{ b=1}\) by się przekonać, że to nieprawda.

edit
A co do zadania. Wiemy, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) muszą być nieparzyste. Niech \(\displaystyle{ a=2n+1}\), \(\displaystyle{ b=2m+1}\) stąd \(\displaystyle{ 7a+6b=14n+12m+13}\), a to też jest nieparzyste, więc przez \(\displaystyle{ 2}\) nie skrócimy. Magicznie znajdujemy przykładowe \(\displaystyle{ (n,m)=(10,31)}\) dla których wyrażenie dzieli się przez \(\displaystyle{ 525}\), skąd odpowiedzią do zadania jest \(\displaystyle{ 8}\).

[mat_61]

Błąd lestkievicha polega na tym, że rozpatrując dzielniki liczby \(\displaystyle{ 7a+6b}\) zakłada, że jeżeli dana liczba jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 7a+6b}\) , to musi być dzielnikiem każdego ze składników co nie jest prawdą.

Ponieważ liczby 2, 3 i 7 są dzielnikiem jednego ze składników liczby \(\displaystyle{ 7a+6b}\), to żeby były dzielnikiem całej liczby muszą być dzielnikiem drugiego składnika i dla tych liczb rozumowanie lestkievicha jest poprawne.

Natomiast liczba \(\displaystyle{ 5}\) nie jest dzielnikiem żadnego ze składników tzn. \(\displaystyle{ 7a}\) oraz \(\displaystyle{ 6b}\), ale może być dzielnikiem ich sumy.

-- 4 mar 2012, o 14:26 --

Na pytanie:

Jaki będzie najmniejszy wspólny mianownik ich sumy? nie ma jednoznacznej odpowiedzi.

Co innego gdyby w pytaniu było: jaki może być... ?

Wszystko zależy jakie to będą ułamki, np.:

\(\displaystyle{ \frac{1}{600} + \frac{1}{700} = \frac{13}{4200}}\)

\(\displaystyle{ \frac{7}{600} + \frac{1}{700} = \frac{11}{840}}\)

\(\displaystyle{ \frac{17}{600} + \frac{1}{700} = \frac{5}{168}}\)

Widać więc, że można tak dobrać wartości \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) spełniające warunki zadania, aby liczba \(\displaystyle{ 7a+6b}\) była podzielna zarówno przez \(\displaystyle{ 5}\) jak i \(\displaystyle{ 5^2}\)

[abc666]

mat_61, w pytanie chodzi o znalezienie najmniejszego możliwego, a ten jest równy \(\displaystyle{ 8}\).

[mat_61]

abc666, w Twoim rozwiązaniu dla \(\displaystyle{ n=10}\) mamy:

\(\displaystyle{ a=2n+1=2 \cdot 10+1=21}\)

ale wówczas ułamek \(\displaystyle{ \frac{a}{600}= \frac{21}{600}}\) nie jest ułamkiem nieskracalnym ponieważ:

\(\displaystyle{ \frac{21}{600} = \frac{7}{200}}\)

Analogicznie dla \(\displaystyle{ m=31}\) mamy \(\displaystyle{ b=63}\), ale:

\(\displaystyle{ \frac{63}{700} = \frac{9}{100}}\)

Największa liczba przez którą można skrócić ułamek po wykonaniu dodawania wynosi \(\displaystyle{ 25}\).

Co do interpretacji treści zadania to nie będę się spierał ale dla mnie stwierdzenie mamy 2 ułamki nieskracalne ... oznacza, że rozwiązania szukamy dla dwóch dowolnych takich ułamków.

Przyjmując jednak nawet Twoją interpretację, że chodzi o mianownik najmniejszy możliwy (choć o tym nie ma w zadaniu ani słowa) to i tak wg mnie wynosi on \(\displaystyle{ 168}\).

Wynika to z tego, że \(\displaystyle{ 4200=2^3\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7}\). Jak zostało to pokazane wcześniej (a nie widzę tam błędu) dzielnikiem licznika nie może być żadna z potęg liczb \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 7}\). Pozostają więc potęgi liczby \(\displaystyle{ 5}\), czyli albo \(\displaystyle{ 5^1}\) albo \(\displaystyle{ 5^2}\).

[abc666]

No masz oczywiście rację ;p Nawet nie podstawiłem tych liczb dla sprawdzenia.

[leapi]

Natomiast liczba \(\displaystyle{ 5}\) nie jest dzielnikiem żadnego ze składników tzn. \(\displaystyle{ 7a}\) oraz \(\displaystyle{ 6b}\), ale może być dzielnikiem ich sumy.

Po zauważeniu, że jedyną liczba jaka może skrócić ułamek będzie 5 lub jej wielokrotność poszukałbym w rozwiązaniach równania diofantycznych

\(\displaystyle{ 7a+6b=5}\)

\(\displaystyle{ 7a+6b=10}\)

\(\displaystyle{ 7a+6b=15}\)

itd.
Np
\(\displaystyle{ 7a+6b=85}\)

\(\displaystyle{ NWD(7,6)=1}\) istniej rozwiązania.

Rozwiązaniem równania jednorodnego
\(\displaystyle{ 7a+6b=0}\)

\(\displaystyle{ 7a=-6b}\) stąd

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-6t \\ b=7t \end{cases}}\)

Jedno szczególne rozwiązania równania

\(\displaystyle{ 7a+6b=85}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=a_1 \\ b=b_1 \end{cases}}\)

w taki razie

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=a_1-6t \\ b=b_1+7t \end{cases}}\)

Pary liczb o sumie \(\displaystyle{ 85}\) mamy dla \(\displaystyle{ t\in Z}\)

[mat_61]

Po zauważeniu, że jedyną liczba jaka może skrócić ułamek będzie 5 lub jej wielokrotność

Jedynymi liczbami jakie mogą skrócić ułamek są potęgi (a nie wielokrotności) liczby 5 a dokładniej \(\displaystyle{ 5^1=5}\) i \(\displaystyle{ 5^2=25}\). Powyżej jest dokładnie wyjaśnione dlaczego.

Skoro największą liczbą przez którą można skrócić ułamek jest \(\displaystyle{ 25}\) to wystarczy pokazać, że istnieje przynajmniej jeden taki ułamek spełniający warunki zadania, że \(\displaystyle{ 25|7a+6b}\) co także zostało powyżej zrobione.
Oczywiście takich ułamków jest więcej i można próbować ich szukać ale nie jest to treścią tego zadania.-- 5 mar 2012, o 09:18 --

Jedno szczególne rozwiązania równania

\(\displaystyle{ 7a+6b=85}\)

Niestety rozwiązanie tego równania nie jest rozwiązaniem zadania. Równanie jest prawdziwe np. dla \(\displaystyle{ a=7}\) oraz \(\displaystyle{ b=6}\) ale ułamek:

\(\displaystyle{ \frac{6}{700}}\)

nie jest ułamkiem nieskracalnym.

[leapi]

Jedno szczególne rozwiązania równania

\(\displaystyle{ 7a+6b=85}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=13 \end{cases}}\)

w taki razie

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=1-6t \\ b=13+7t \end{cases}}\)

Pary liczb o sumie \(\displaystyle{ 85}\) mamy dla \(\displaystyle{ t\in Z}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{600}+\frac{13}{700}=\frac{85}{4200}}\)

-- 5 mar 2012, o 10:52 --

Jedynymi liczbami jakie mogą skrócić ułamek są potęgi (a nie wielokrotności) liczby 5 a dokładniej \(\displaystyle{ 5^1=5}\) i \(\displaystyle{ 5^2=25}\). Powyżej jest dokładnie wyjaśnione dlaczego.

Żle się wyraziłem. chodziło mi o wielokrotność \(\displaystyle{ 5}\) (Lub \(\displaystyle{ 25}\))w liczniku.

Faktycznie zadanie zadanie juz dawno jest rozwiązane. Pytanie tylko czy jest sens bawić się dalej w szukanie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Chyba r4aczej nie.

[mat_61]

Najmniejszy wspólny mianownik może być równy \(\displaystyle{ 168}\) i jedna para wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) dla takiego mianownika została znaleziona:

\(\displaystyle{ \frac{17}{600} + \frac{1}{700} = \frac{5}{168}}\)

Biorąc pod uwagę samo zadanie jest to wystarczające, żeby uznać je za rozwiązane.

Natomiast nic nie szkodzi rozszerzyć sobie treść zadania o znalezienie np. wszystkich ułamków właściwych spełniających warunki zadania dla możliwie najmniejszego mianownika

Skoro wiadomo, że istnieją ułamki o mianowniku 168 (po skróceniu) to już chyba nie ma sensu szukać takich o mianowniku 840 (po skróceniu).