Dzielniki parzyste i nie.
Dzielniki parzyste i nie.
Liczymy dzielniki parzyste i nieparzyste pewnej liczby parzystej. Czy jest możliwe, aby iloczyn sumy parzystych dzielników i nieparzystych dzielników był kwadratem liczby naturalnej ? Odpowiedź uzasadnij.
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Dzielniki parzyste i nie.
Niech w rozkładzie tej liczby na czynniki pierwsze dwójka występuje \(\displaystyle{ k}\) razy. Jeśli \(\displaystyle{ p_i}\) jest nieparzystym podzielnikiem, to \(\displaystyle{ 2p_i,2^2p_i,...,2^kp_i}\) są podzielnikami parzystymi. Wtedy iloczyn sum podzielników to:
\(\displaystyle{ \left( p_1+p_2+...+p_n\right)\left(2p_1+2^2p_1+...+2^kp_2+2p_2+2^2p_2+...+2^kp_2+...+2p_n+2^2p_n+...+2^kp_n \right)=\\=\left( p_1+p_2+...+p_n\right)\left(2+2^2+...+2^k\right)\left( p_1+p_2+...+p_n\right)=\left(2+2^2+...+2^k\right)\left( p_1+p_2+...+p_n\right)^2}\)
ABy to ostatnie wyrażenie było kwadratem, \(\displaystyle{ 2+2^2+...+2^k}\) musi być podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\), ale \(\displaystyle{ \left( 2+2^2+...+2^k\right) :2=1+2+...+2^{k-1}}\) jest liczbą nieparzystą. Zatem nie jest to możliwe.
\(\displaystyle{ \left( p_1+p_2+...+p_n\right)\left(2p_1+2^2p_1+...+2^kp_2+2p_2+2^2p_2+...+2^kp_2+...+2p_n+2^2p_n+...+2^kp_n \right)=\\=\left( p_1+p_2+...+p_n\right)\left(2+2^2+...+2^k\right)\left( p_1+p_2+...+p_n\right)=\left(2+2^2+...+2^k\right)\left( p_1+p_2+...+p_n\right)^2}\)
ABy to ostatnie wyrażenie było kwadratem, \(\displaystyle{ 2+2^2+...+2^k}\) musi być podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\), ale \(\displaystyle{ \left( 2+2^2+...+2^k\right) :2=1+2+...+2^{k-1}}\) jest liczbą nieparzystą. Zatem nie jest to możliwe.