dowody niewymiernośći liczb

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
ossaplana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 lut 2012, o 15:43
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wrocław

dowody niewymiernośći liczb

Post autor: ossaplana »

Chciałabym dowiedzieć się, jak udowodnić, że \(\displaystyle{ \log _{12} 18}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3}{5}}\) są niewymierne
Ostatnio zmieniony 28 lut 2012, o 19:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

dowody niewymiernośći liczb

Post autor: Ein »

A umiesz dowieść, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest niewymierny? Bo w obu przypadkach dowód jest podobny.
ossaplana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 lut 2012, o 15:43
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wrocław

dowody niewymiernośći liczb

Post autor: ossaplana »

wiem, tyle,że nie do końca rozumiem tego dowodu, bo nie rozumiem np, jaki związek ma nieskracalność ułamka z liczbami niewymiernymi
Ostatnio zmieniony 29 lut 2012, o 13:14 przez ossaplana, łącznie zmieniany 1 raz.
Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

dowody niewymiernośći liczb

Post autor: Ein »

To ja Ci pokażę dowód niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), a Ty go sobie przerobisz na dowód niewymierności podanych liczb, ok?

No to załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ \gcd(p,q)=1}\) (czyli ułamek jest nieskracalny). Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy: \(\displaystyle{ 2=\frac{p^2}{q^2}}\), czyli \(\displaystyle{ 2q^2=p^2}\). Zatem liczba \(\displaystyle{ p}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\), bo \(\displaystyle{ 2}\) jest pierwsza (a dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi: \(\displaystyle{ n|ab\Rightarrow n|a\vee n|b}\)). Wobec tego: \(\displaystyle{ p=2r}\), dla pewnego \(\displaystyle{ r}\). Podstawiając \(\displaystyle{ 2r}\) zamiast \(\displaystyle{ p}\) do naszej równości otrzymujemy: \(\displaystyle{ 2q^2=4r^2}\), czyli \(\displaystyle{ q^2=2r^2}\). Znowu, podobnie jak w przypadku \(\displaystyle{ p}\), wynika, że \(\displaystyle{ q}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\), czyli \(\displaystyle{ q=2s}\) dla pewnego \(\displaystyle{ s}\). No ale to właśnie przeczy temu, że \(\displaystyle{ \gcd(p,q)=1}\), bo \(\displaystyle{ \gcd(p,q)=\gcd(2r,2s)\ge2}\). Otrzymana sprzeczność dowodzi niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).
ossaplana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 lut 2012, o 15:43
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wrocław

dowody niewymiernośći liczb

Post autor: ossaplana »

Cały czas mam problem ze zrozumieniem, dlaczego ta sprzeczność dowodzi niewymierności.
major37
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1631
Rejestracja: 30 wrz 2010, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Witaszyce
Podziękował: 288 razy
Pomógł: 72 razy

dowody niewymiernośći liczb

Post autor: major37 »

Można też z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu
Marcinek665
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

dowody niewymiernośći liczb

Post autor: Marcinek665 »

Niech \(\displaystyle{ \log_{12}18 = \frac{p}{q}}\), \(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{Z}_+}\) oraz \(\displaystyle{ p>q}\), bo \(\displaystyle{ \log_{12}18 > 1}\)

Mamy więc \(\displaystyle{ \log_{12}18 = \frac{p}{q} \Leftrightarrow 12^{\tfrac{p}{q}} = 18 \Leftrightarrow 12^p = 18^q \Leftrightarrow 2^{2p} \cdot 3^{p} = 2^{q} \cdot 3^{2q}}\)

Ale lewa strona równości dzieli się przez wyższą potęgę dwójki niż prawa, ponieważ \(\displaystyle{ 2p > p > q}\). Sprzeczność kończy dowód.
major37 pisze:Można też z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu
Nie za bardzo da radę, gdyż liczba \(\displaystyle{ \log_{12}18}\) jest przestępna.
ODPOWIEDZ