Witam, mam problem z następującym zadaniem:
Liczba \(\displaystyle{ J_{n}}\) to liczba n-cyfrowa składająca się tylko z jedynek. Przykładowo \(\displaystyle{ J_{5} = 11111}\).
Udowodnij, że suma cyfr liczby \(\displaystyle{ J^{2}_{n}}\) może być wyrażona jako \(\displaystyle{ S \left( J^{2}_{n} \right) = 81 \cdot \left( \left\lfloor \frac n9 \right\rfloor + \left( \frac n9 - \left\lfloor \frac n9 \right\rfloor \right) ^{2} \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \left\lfloor a \right\rfloor}\) to podłoga z liczby a.
Chętnie podałbym jakikolwiek pomysł mojego autorstwa, ale nie mam pojęcia, w jaki sposób w ogóle zacząć to liczyć. Czy ktoś mógłby mnie jakoś naprowadzić na sposób rozwiązania?
Dzięki z góry
Dowód wzoru na sumę cyfr liczby.
-
malosolny
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 12:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 1 raz
Dowód wzoru na sumę cyfr liczby.
Ostatnio zmieniony 23 lut 2012, o 13:14 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Zmieniłem nazwę tematu, bo nie ma tu żadnego wzoru rekurencyjnego. Znak mnożenia to \cdot. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Zmieniłem nazwę tematu, bo nie ma tu żadnego wzoru rekurencyjnego. Znak mnożenia to \cdot. Temat umieszczony w złym dziale.
-
malosolny
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 12:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 1 raz
Dowód wzoru na sumę cyfr liczby.
Postanowiłem popróbować na początek z takimi \(\displaystyle{ J_{n}}\), że \(\displaystyle{ n \le 9}\) i doszedłem do paru wniosków, jednak nie wiem jak je wykorzystać.
Po pierwsze, dla \(\displaystyle{ n \le 9}\) zachodzi taka zależność, że \(\displaystyle{ S(J_{n}) = n^{2}}\).
Doszedłem do tego w ten sposób, że gdyby wyobrazić sobie mnożenie pod kreską, to
w skrócie n razy dodamy n jedynek do siebie.
Dla \(\displaystyle{ n \ge 10}\) musi zachodzić zależność podobna, stymże trzeba pewnie coś odjąć
(znowu analogia do mnożenia pod kreską, przy \(\displaystyle{ n \ge 10}\) po dodaniu 10 jedynek w jednej
kolumnie powstanie przeniesienie, które zmienia w znaczący sposób sumę cyfr wyniku),
niestety nie wiem jak dojść do tego, co konkretnie.
Co więcej, mogę się dowolnie długo rozpisywać o mnożeniu pod kreską, jednak nie jest to przecież
żadnym formalnym wynikiem, który mógłbym komuś przedstawić.
Po drugie, przyjrzałem się temu wzorowi na sumę, i można go też, nieco jaśniej (przynajmniej dla mnie), przedstawić za pomocą funkcji div i mod, o tak:
\(\displaystyle{ S(J_{n}) = 9^{2}(n\ div\ 9) + (n\ mod\ 9)^{2}}\).
Czy ktoś potrafi mi pomóc w sformalizowaniu rozumowania o mnożeniu pod kreską,
albo przynamniej wskazać jakieś logiczne błędy, jeśli takowe popełniłem?-- 28 lut 2012, o 17:56 --Czy można jakoś wykorzystać fakt, że zachodzi \(\displaystyle{ J_n = (10^{n}-1)/9}\) ?
Po pierwsze, dla \(\displaystyle{ n \le 9}\) zachodzi taka zależność, że \(\displaystyle{ S(J_{n}) = n^{2}}\).
Doszedłem do tego w ten sposób, że gdyby wyobrazić sobie mnożenie pod kreską, to
w skrócie n razy dodamy n jedynek do siebie.
Dla \(\displaystyle{ n \ge 10}\) musi zachodzić zależność podobna, stymże trzeba pewnie coś odjąć
(znowu analogia do mnożenia pod kreską, przy \(\displaystyle{ n \ge 10}\) po dodaniu 10 jedynek w jednej
kolumnie powstanie przeniesienie, które zmienia w znaczący sposób sumę cyfr wyniku),
niestety nie wiem jak dojść do tego, co konkretnie.
Co więcej, mogę się dowolnie długo rozpisywać o mnożeniu pod kreską, jednak nie jest to przecież
żadnym formalnym wynikiem, który mógłbym komuś przedstawić.
Po drugie, przyjrzałem się temu wzorowi na sumę, i można go też, nieco jaśniej (przynajmniej dla mnie), przedstawić za pomocą funkcji div i mod, o tak:
\(\displaystyle{ S(J_{n}) = 9^{2}(n\ div\ 9) + (n\ mod\ 9)^{2}}\).
Czy ktoś potrafi mi pomóc w sformalizowaniu rozumowania o mnożeniu pod kreską,
albo przynamniej wskazać jakieś logiczne błędy, jeśli takowe popełniłem?-- 28 lut 2012, o 17:56 --Czy można jakoś wykorzystać fakt, że zachodzi \(\displaystyle{ J_n = (10^{n}-1)/9}\) ?