Podzielność sumy

[Kmitah]

Udowodnij, że suma \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{24} j^2}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 70}\), bez wykonywania dodawania i korzystania ze wzoru na sumę kwadratów.

Od razu powiem, że odpowiedź znam, ale uznałem, że to zadanie jest interesujące i warto je przedstawić na forum.

[silvaran]

Hm, pewnie należałoby wykazać, że dzieli się przez 2, 5 i 7.
Przez 2 to łatwo. Kwadrat (nie)parzystej liczby jest (nie)parzysty. Mamy 12 parzystych i 12 nieparzystych, koniec.
Teraz przez 5
Rozpatrzmy reszty z dzielenia \(\displaystyle{ x}\) przez 5 oraz \(\displaystyle{ x^2}\) przez 5:
\(\displaystyle{ x \ x^2 \\ 0 \ 0 \\ 1 \ 1 \\ 2 \ 4 \\ 3 \ 4 \\ 4 \ 1}\)
Czyli jak widać, suma 5 kolejnych kwadratów zawsze będzie podzielnych przez 5 (bo suma reszt daje liczbę podzielną przez 5). W naszej sumie są 24, ale jeśli dodamy 0 to nic się nie zmieni, a będzie 25 elementów i podzielność przez 5 zajdzie

Zostaje 7
Również rozpatrujemy reszty
\(\displaystyle{ x \ x^2 \\ 0 \ 0 \\ 1 \ 1 \\ 2 \ 4 \\ 3 \ 2 \\ 4 \ 2 \\ 5 \ 4 \\ 6 \ 1}\)
Znowu ta sama sztuczka - suma 7 kolejnych kwadratów będzie podzielna przez 7. Więc zostają nam tylko \(\displaystyle{ 22^2, 23^4, 24^2}\), a reszty z dzielenia \(\displaystyle{ 22,23,24}\) przez 7 dają odpowiednio \(\displaystyle{ 1,2,3}\), więc reszty z dzielenia ich kwadratów dają \(\displaystyle{ 1,4,2}\) co w sumie jest podzielne przez 7

CND


Jest krótszy sposób?

[Kmitah]

Muszę przyznać, że jestem zaskoczony. Nie spodziewałem się rozwiązania tak szybko i to jeszcze takiego, które nie znałem.

Cóż, istnieje jeszcze sposób, korzystający z twierdzenia Eulera, mówiącego, że każdą liczbę naturalną da się zapisać w postaci sumy czterech kwadratów, ale go nie zdradzę jeszcze, by nie psuć zabawy innym.

Dodam, że napisałem nieprecyzyjnie dosyć, że mamy rozwiązać zadanie "bez wykonywania dodawania". Miałem na myśli: "bez wyliczenia sumy".

[silvaran]

Muszę przyznać, że jestem zaskoczony. Nie spodziewałem się rozwiązania tak szybko i to jeszcze takiego, które nie znałem.

Zadanie jakieś bardzo trudne nie jest, a jak to w teorii liczb bywa - rozwiązać można zadania na różne sposoby, korzystając przy tym z przeróżnych narzędzi

[Kmitah]

Tak, to prawda, ale po prostu rozwiązanie, które ja znam, przysłoniło mi wszystko i jakoś nie szukałem już innego rozwiązania.