Udowodnienie niewymierności

[pio314]

Hej,
Potrzebuję pomocy z zadankiem:
Udowodnij niewymierność liczby \(\displaystyle{ \sqrt{5+ \sqrt{7+ \sqrt{11} } }}\).

Domyślam się, że rozwiązywanie trzeba rozpocząć od założenia, że liczba ta jest wymierna, czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt{5+ \sqrt{7+ \sqrt{11} } } = \frac{m}{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ m,n \in C \wedge n \neq 0}\)
Podnosząc do kwadratu i przekształcając:
\(\displaystyle{ \sqrt{7+ \sqrt{11} } = \frac{m^{2}-5n^{2}}{n^{2}}}\)
Idąc dalej tą metodą, dostajemy, że \(\displaystyle{ \sqrt{11} = \frac{m^{4} - 10m^{2}n^{2} + 18n^{4}}{n^{4}}}\).
I ostatecznie:
\(\displaystyle{ 0=m^{8} + 313n^{8}+136m^{4}n^{4}-20m^{6}n^{2}-360m^{2}n^{6}}\)
Co dalej należy z tym zrobić?
Czy może jest jakaś inna, prostsza metoda na udowodnienie tej niewymierności?

[szw1710]

Gdyby ten duży pierwiastek był wymierny, to jego kwadrat też, a więc \(\displaystyle{ 5+\sqrt{7+\sqrt{11}}}\) byłoby wymierne. Odejmując od tego piątkę dostalibyśmy wymierność liczby \(\displaystyle{ \sqrt{7+\sqrt{11}}.}\) Na tej samej zasadzie doszlibyśmy do wymierności \(\displaystyle{ \sqrt{11},}\) co jest nieprawdą. A więc niewymierność zadanej tu liczby równoważna jest niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{11},}\) a to pokazuje się łatwo.

[pio314]

Rozumiem i dziękuję za pomoc