niewymierna liczba

[kuba7687]

Niech r będzie liczbą wymierną \(\displaystyle{ (r \neq 0)}\), a x- liczbą niewymierną. Udowodnić, że r+x i rx jest niewymierne.

[Mistrz]

Rób nie wprost z definicji liczby wymiernej. Załóż, że ta \(\displaystyle{ r+x}\) (lub \(\displaystyle{ rx}\), oba te przypadki wydają mi się równie łatwe), która ma wyjść niewymierna, jest wymierna i że jest równa \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}}\) i doprowadź do sprzeczności z założeniami z zadania (przez \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) rozumiem liczby całkowite).

[kuba7687]

Zał.: \(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{Z}; r \in \mathbb{Q}; x \in \mathbb{NQ}}\) NQ-zb. liczb niewymiernych
Teza: \(\displaystyle{ r+x= \frac{p}{q}}\)

Dowód:

\(\displaystyle{ r+x= \frac{p}{q}}\)
Jeżeli suma tych dwóch liczb ma być ułamkiem zwykłym, to obie liczby da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego. A ponieważ x jest liczbą niewymierną, czyli taką, której się nie da przedstawić za pomocą takiego ułamka, to dochodzimy do sprzeczności. Suma r+x jest niewymierna.

Tak może być?

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ r+x= \frac{p}{q}}\)
Jeżeli suma tych dwóch liczb ma być ułamkiem zwykłym, to obie liczby da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego. (...) Tak może być?

Nie możesz tak uzasadniać, bo nie zawsze tak musi być - suma dwóch liczb niewymiernych może być wymierna.

[Mistrz]

Tezę też źle zapisałeś, powinno być: \(\displaystyle{ r+x \not\in \mathbb{Q}}\).
Dowód bym napisał tak:

Dowodzik:    

Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ r+x = \frac{p}{q}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}}\). Z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ r\in Q, r \ne 0}\), stąd \(\displaystyle{ r = \frac{s}{t}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ s \in \mathbb{Z}, s \ne 0, t \in \mathbb{N}}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{s}{t} + x = \frac{p}{q}}\). Równoważnie: \(\displaystyle{ x = \frac{p}{q} - \frac{s}{t} = \frac{pt -qs}{qt}}\). Przedstawiliśmy \(\displaystyle{ x}\) jako ułamek, mamy sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą niewymierną. Uzyskana sprzeczność dowodzi tezy zadania.

Zauważ, że w tym przypadku założenie o tym, że \(\displaystyle{ r\ne 0}\) nie jest potrzebne.
Drugie zadanie (z \(\displaystyle{ rx}\)) zrobisz bardzo podobnie.