Funkcja Mobiusa

[kasiczka15m]

\(\displaystyle{ \sum_{d|999}\mu(d)}=?}\)

czy rozwiązaniem bedzie 999?

[eMaerthin]

na wikipedii czytamy, że dla \(\displaystyle{ n>1}\) \(\displaystyle{ \sum_{d|n}{\mu(d)}=0}\). Nie wydaje się to trudne... Zresztą dla \(\displaystyle{ n=999}\) da się to sprawdzić ręcznie

[Sylwek]

Dla \(\displaystyle{ n=999}\) istotnie łatwo sprawdzić ręcznie, a aby dowieść powyższy fakt, wystarczy pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ \mu}\) jest multiplikatywna, funkcja stale równa 1 też jest multiplikatywna, a \(\displaystyle{ \sum_{d|n}{\mu(d)}}\) to po prostu splot Dirichleta funkcji \(\displaystyle{ \mu}\) z funkcją \(\displaystyle{ 1}\), a splot funkcji multiplikatywnych jest funkcją multiplikatywną. Czyli wystarczy sprawdzić równość (dla \(\displaystyle{ n>1}\)): \(\displaystyle{ \sum_{d|n}{\mu(d)}=0}\) tylko dla \(\displaystyle{ d=p^k, \ p \in \mathbb{P}}\)